giovedì 11 settembre 2014

Orientarsi con le stelle / 1

Guardando il cielo, si può avere la percezione che le stelle stiano lì a marcare delle forme e dei confini quasi come i punti sparsi di un sistema cartesiano proiettato su uno schermo sferico. I punti sono effettivamente distribuiti in modo un po' caotico, invitando a trovare delle forme geometriche formate da rettangoli, triangoli e linee che hanno finito per rappresentare figure associate a delle forme che richiamano alla memoria animali o figure mitologiche. Sono però punti che tra loro ripresentano sempre le stesse posizioni relative, si alternano nelle varie stagioni dell'anno tornando sempre nelle stesse posizioni a seconda dell'ora e del giorno. Insomma le stelle sono adattissime per orientarsi e così faremo spiegando il metodo che si usa tuttora per la navigazione... in caso che il GPS non funzioni! Non solo gli uomini ma anche alcuni animali sono in grado di orientarsi con le stelle: è notario il caso di alcuni mammiferi, uccelli, pesci e anche insetti. Sicuramente il loro metodo è meno scientifico del nostro che si basa sulla trigonometria sferica ma ugualmente efficace. Il concetto di base è che su una superficie sferica ogni punto può essere individuato da due coordinate: due angoli che corrispondono a paralleli e meridiani rispetto a un riferimento, esattamente come si fa per i punti sulla Terra che vengono individuati attraverso latitudine e longitudine. Sulla sfera celeste, la latitudine corrisponde alla declinazione, mentre la longitudine all'ascensione retta. C'è un ulteriore sistema di coordinate che è permette individuare la stella dal punto di vista di un osservatore sulla Terra: altezza e azimut. L'altezza sull'orizzonte equivale al parallelo della sfera che ha lo zenit come vertice, mentre l'azimut corrisponde al meridiano a partire dal polo nord geografico. Una stella si puó dunque individuare passando dal sistema di coordinate celesti a quello locale e vice versa. Tutte le sfere si possono considerare concentriche e le differenti trasformazioni sono di rotazione sugli angoli di Eulero. Un osservatore su una imbarcazione in un punto dell'oceano può sapere dove si trova in termine di latitudine e longitudine se sa l'ora di Greenwich e l'altezza di un astro: il sole o la luna di giorno o luna, pianeti e stelle durante il crepuscolo nautico (il sole è sotto l'orizzonte di non più di 12 gradi), cioé quando l'orizzonte è ancora visibile e l'oscurità del cielo è già sufficiente per vedere le stelle di maggiore magnitudine. In queste condizioni, partendo da un punto di coordinate stimate e l'altezza misurata con il sestante è possibile risalire alla posizione corretta. Se le stelle osservate sono due o addirittura tre l'osservazione è tanto più precisa. Si procede nel seguente modo: innanzitutto va stimata la posizione nella quale si sta navigando sulla base dell'ultima rilevazione precisa, la direzione della rotta, la velocità e il tempo intercorso. Il vettore spostamento dato da velocità (nodi) x tempo (ore) ci dá le miglia di cui ci siamo separati dal punto nave precedente. Quindi a latitudine e longitudine della vecchia posizione va aggiunta il delta latitudine e il delta longitudine determinati dal vettore spostamento. Per quanto riguarda la latitudine il calcolo del delta è semplice perchè basta passare dalle miglia percorse per la componente dello spostamento in direzione nord-sud e divedere per 60 per ottenere i gradi di cui ci si è spostati. Per il delta longitudine bisogna considerare che uno spostamento in miglia lungo la direttrice est-ovest diviso 60 permette il calcolo dei gradi di cui ci si è spostati solo nel caso che la latitudine sia nulla, ovvero sull'equatore. Per tutte le altre latitudini, la larghezza dello "spicchio" rappresentato da due meridiani successivi si va riducendo con l'aumentare di questa, quindi lo stesso spostamento in miglia, diciamo 60, corrisponde a 1 grado all'equatore misura 2 gradi di longitudine alla latitudine di Oslo (circa 60 gradi). Questo è dovuto al fatto che la longitudine si riduce con il coseno della latitudine. O in altri termini: la circonferenza in un parallelo va con il raggio del parallelo che va decrescendo verso i poli con il coseno della latitudine. Per calcolare corretamente la nuova longitudine bisogna quindi dividere lo spostamento angolare determinato dallo spestamento in miglia dividendo per il coseno. A questo punto serve solo l'almanacco annuale delle effemeridi, un buon cronometro che ci sappia dare con molta precisione l'ora di Greenwich a qualsiasi longitudine siamo e un sestante per misurare l'angolo di cui l'astro si eleva dall'orizzonte. Il procedimento analitico lo spiegherò in un prossimo blog per specialisti della navigazione astronomica, ma è interessante notare che di fatto neanche la bussola è più indispensabile. Questo procedimento ha consentito di risolvere il problema della scarsa affidabilità delle letture del nord magnetico dal momento che nei vari punti della terra le deviazioni magnetiche sono differenti e oltretutto cambiano nel tempo. Il principio di calcolo è basato sul fatto che la longitudine stimata ci consente di sapere che angolo ci separa dal meridiano di riferimento di Greenwich, l'ora ci dice quale è l'angolo che dobbiamo sommare per sapere dove si posiziona l'azimut dell'astro rispetto al meridiano locale. Bisogna poi posizionare il riferimento delle ascensioni rette delle stelle che è la posizione dell'ariete, da qui è facile posizionare i meridiani di appartenenza delle stelle intorno a noi. Dal momento que ogni ora la sfera celeste si sposta di 15 gradi verso ovest, dovremo trasformare l'ora in gradi e posizionarci rispetto al meridiano locale che è a sua volta posizionato rispetto a Greenwich e anche la stella osservata va posizionata rispetto a Greenwich attraverso il riferimento dell'ariete. In pratica ogni stella di data declinazione e ascensione retta di notte fa un certo arco nel cielo, per cui in un istante e luogo, altezza e azimut devono coincidere con la trasformazione di Eulero della sua declinazione e ascensione retta. Se tutti i parametri sono corretti, incluso l'ora (con precisione al minuto) e l'altezza (con precisione del sestante al decimo di minuto possibilmente), se ci sono differenze queste dipendono solo dalla posizione stimata e quindi il calcolo consente una correzione. Prendendo a riferimento più stelle, 2 o 3, la posizione corretta può essere intersecata fino ad eliminare gli ulteriori errori di misura. Il passaggio essenziale è pensare che una stella può esser vista ad una altezza misurata con il sestante solo in un luogo di punti sulla terra che descrive un cerchio sulla superficie terrestre. Localmente questo cerchio si può confondere con un segmento perpendicolare alla direzione con cui l'astro è visto, questo segmento fa parte della retta di altura o di Marq. Due rette di altura individuano un punto in forma univoca e 3 individuano un triangolo al cui baricentro cade la posizione effettiva della nostra imbarcazione. Vedremo come questo calcolo viene effettuato con poche nozioni essenziali di geometria sferica.

martedì 10 dicembre 2013

Quanto brilla Venere?

In questi giorni si può notare a ovest la luce del pianeta più vicino a noi farsi quasi imbarazzante. Può essere oramai scambiato per un aereo in fase di atterraggio. Poi evidentemente si nota che si muove lentamente nel cielo come le stelle che gli stanno intorno per tramontare verso le 19:30. Venere sta raggiungendo la sua massima magnitudine visto da Terra nella seconda settimana di dicembre, poi si approssimerà angolarmente al Sole e non potremo più vederlo con il sufficiente contrasto di oscurità. Quello che sta succedendo è il suo aprossimarsi a noi da ovest. Ha giá raggiunto il punto di massima elongazione ai primi di novembre quando l’angolo che crea con il sole, visto da Terra è massimo e quindi tramonta abbastanza dopo il Sole da campeggiare nel cielo di ovest in tutta evidenza. Avvicinandosi ulteriormente a noi il suo diametro apparente cresce ma nello stesso tempo non ci dà più la faccia completamente illuminata che aveva fino a un paio di mesi fa: inizia a farsi vedere solo uno spicchio. La quantità di luce che irradia, da una parte è maggiore per via del diametro apparente crescente, dall’altra la superificie illuminata vista da Terra diminuisce, per cui ci sarà una condizione di ottimo sotto la quale vedremo la massima magnitudine per poi ridursi velocemente. Lo studio della evoluzione della magnitudine di Venere con l’angolo con il quale noi lo vediamo è lo studio che voglio proporre per rispondere alla domanda del titolo. Prima di tutto bisogna studiare quale è la luminosità legata alla fase di un pianeta interno o della Luna. Dall’analisi degli angoli da cui vengono visti gli oggetti illuminati dal Sole, possiamo definire l’angolo della fase β come l’intersezione tra una sfera e un piano pasante per l’origine e l’asse zeta. Il risultato è una semiellisse di semiasse cos(β). Se prendiamo ad esempio il primo quarto di Luna, la superficie illuminata viene ad essere quello che rimane del semicerchio a cui viene sottratta una semiellisse e il secondo semicerchio. L’ellisse iscritta nel cerchio è la superficie che si va illuminando passando oltre il primo quarto fino a Luna piena. Successivamente si sottrae al cerchio illuminato la zona che rimane tra il semicerchio e la semiellisse. In sintesi se esprimiamo tutto in funzione dell’angolo della fase β, l’equazione della superficie illuminata è:
Per il seguimento del pianeta Venere possiamo riprendere lo stesso schema che abbiamo utilizzato per lo studio delle fasi e costruire il triangolo formato nel riferimento fisso Sole-Terra con il pianeta che si muoverà con una velocità angolare corrispondente al periodo sinodico cioè la differenza tra la velocità angolare del pianeta interno e quella della Terra:
Possiamo esprimere le relazioni geometriche in funzione dell’angolo δ che il pianeta ha con il sole e calcolare di conseguenza α e β considerando la Terra sempre a distanza fissa dal Sole pari al raggio medio dell’orbita. Allo stesso modo si può considerare l’orbita di Venere come una circonferenza senza commettere una grande imprecisione per il modello semplice che ci stiamo costruendo. Il tempo con cui si descrive l’angolo δ è quindi determinato dalla legge:
La zona di Venere illuminata dipenderà quindi dall’angolo β e dal quadrato del diametro apparente che è conseguente alla distanza tra Terra e Venere. La magnitudine merita un discorso a parte. Infatti il concetto di magnitudine che vale per le stelle ha una origine lontana nella suddivisione di Ipparco delle stelle di prima fino a sesta grandezza. Per mantenere questa suddivisione si è definita una funzione logaritmica per la quale tra le stelle di prima e di sesta grandezza ci fossero circa 2 ordini di grandezza della luminosità percepita, istituendo così il fattore circa pari a 2.5 proveniente dalla radice quinta di 100. La stella di riferimento di magnitudine 1 è Vega. A questo punto corpi di magnitudine superiore hanno iniziato a prendere i valori negativi, compresi i pianeti, Luna e Sole. Un successivo passo è stato fatto con la istituzione della magnitudine assoluta che tiene conto anche della distanza dell’oggetto che emette la luminosità e relazionandola con la magnitudine apparente come viene vista da Terra secondo la equazione:
Dove m è la magnitudine apparente e D è la distanza della stella in parsec. Per un pianeta la magnitudine assoluta è una proprietà che dipende dalle caratteristiche del pianeta stesso e si definisce secondo la magnitudine che avrebbe se stesse a 1 AU di distanza dal Sole e dalla Terra. Riassumendo il calcolo della magnitudine di Venere parte dall’equazioni esposte nel post del 6 luglio che permettono di calcolare la distanza D e l’angolo della fase β del pianeta in funzione dell’angolo δ che questo forma tra sole e terra. Moltiplicando la superficie illuminata esposto sopra per il diametro apparente, dal calcolo del logaritmo si ottiene infine attraverso un fattore la magnitudine. Come illustrato nella figura seguente la magnitudine un valore minimo, che corrisponde alla massima luminosità in questi giorni.
Dalla figura si può notare che passata la metà del mese di dicembre la magnitudine andrà rapidamente decrescendo fino a non essere più osservabile già ai primi di gennaio. Dalla mia terrazza il pianeta vicino appare al telescopio come una piccola mezzaluna in posizione orizzontale.
...e a guardar bene anche ad occhio nudo si capisce che non si tratta di un disco luminoso ma qualcosa di più schiacciato... e questo è il perchè!

sabato 6 luglio 2013

L'allineamento di Mercurio e Venere e le loro fasi spiegato con la trigonometria

In queste sere si assiste a un allineamento che ci lascia vedere Mercurio in prossimità Venere bassi sull'orizzonte a Ovest dopo il tramonto. Per capire quello che sta succedendo è utile visualizzare il Solar system simulator . Scorrendo all'indietro il tempo e successivamente in avanti, si può osservare che i due pianeti interni, da circa un mese ci stanno venendo incontro da ovest. Mercurio, essendo il pianeta più vicino al sole, è molto più rapido (come risulta dai dati del sistema solare): ha un periodo orbitale di 2,55 volte più breve di quello di Venere e una velocità di 47,87 km/s contro soli 35,02 di Venere. Quindi ora è arrivato davvero vicino a noi e, ai primi di luglio, in pochi giorni diventerà invisibile. Ma chi lo ha osservato nell'ultimo mese avrà notato che la sua brillantezza è molto diminuita nonostante l'avvicinamento, quindi nonostante il suo diametro apparente sia maggiore, la magnitudine apparente è minore. La spiegazione sta nel fatto che, come per i primi giorni di Luna crescente, stiamo vedendo uno spicchio sempre più piccolo di Mercurio in quanto l'angolo con il quale lo vediamo è un angolo relativamente stretto. Da un'analisi della figura che otteniamo dal Solar system simulator
possiamo definire in modo seguente gli angoli con cui Mercurio è visto: alfa dalla Terra, delta dal Sole e beta sarà l'angolo somma di alfa e delta e che corrisponde all'angolo illuminato visibile da parte della Terra. In questo ci aiuta la una piccola schematizzazione.
Si costruisce il triangolo avente vertici nel sole nella terra e nel pianeta interno, si ottiene generalmente un triangolo scaleno. Tracciando la normale alla congiungente sole-pianeta si identifica la metà del pianeta illuminata. Stessa operazione per la congiungente terra - pianeta, la normale a questa retta individua la metà vista da Terra. Si determina quindi l'angolo beta come l'angolo della parte illuminata visibile anche da terra. Questa costruzione ci consente di conoscere facilmente l'entità di questo angolo che è dato dalla somma degli angoli complementari ad alfa e beta per costruzione. Per avere qualche misura consideriamo come dati del problema il raggio dell'orbita terrestre e quello del pianeta interno, in più si conosce l'angolo al vertice nella posizione del sole, applicando il teorema del coseno siamo in grado di conoscere la distanza terra-pianeta e dal terema dei seni l'angolo alfa conseguente a delta come nelle formule seguente a cui consegue beta.
L'andamento di beta in funzione di delta è una curva che parte da zero per angoli nulli (congiunzione inferiore in cui Mercurio è tra il sole e la terra) ed effettivamente è come la luna nuova, Mercurio non si vede affatto e mostra la faccia in ombra alla Terra risultando così invisibile. Aumenta via via con l'angolo fino a un massimo di 180º, piena visibilità della faccia illuminata ma di nuovo impossibile da vedere perchè dietro al Sole. Tra queste due sitazioni estreme ce ne è una ottimale in cui la distanza non è ancora tale da avere ridotto il diametro apparente a un paio di secondi di grado. Di fatto le posizioni prossime alle quadrature sono le migliori sia perchè l'oggetto non è ancora troppo lontano sia perchè è visibile una metà del disco del pianeta. Anche per Venere avverrà un fenomeno analogo per cui nei prossimi mesi vedremo aumentare la luminosità ma non in modo proporzionale all'avvicinamento che si sta verificando dal momento che si presenterà sempre più a forma di falce. Verso ottobre ci sarà la migliore combinazione tra diametro apparente e superficie illuminata che risulterà nella magnitudine maggiore tra tutti i corpi celesti esclusa Luna e Sole.

domenica 28 aprile 2013

Vedere la ISS solcare il cielo

Dopo aver parlato delle stelle cadenti, un altro oggetto che solca il cielo altrettanto rapidamente e per lunghi archi è un oggetto artificiale: la stazione spaziale internazionale ISS. La ISS è un satellite artificiale che orbita a poco più di 400 km sopra la superficie terreste. I primi componenti sono stati inviati nel 1998 ed ora è il più grande oggetto artificiale in orbita visibile a occhio nudo. Proprio questa è la caratteristica che la rende molto interessante, infatti conoscendo le sue coordinate è abbastanza facile seguirla nel cielo in quanto la sua luminosità può raggiungere quella di Venere. Attraversa il cielo da ovest verso est, dopo il tramonto o prima dell'alba, in pochi minuti, generalmente da 2 a 5. E' visibile quando dalla località di avvistamento ci sono le condizioni ideali, ossia oscurità, vicinanza e inoltre la stazione deve riflettere la luce del Sole e non deve essere in ombra o nel cono d'ombra della Terra.

La distanza di circa 400 km della stazione da Terra fa sí che il periodo orbitale sia particolarmente corto. Infatti si può applicare la terza legge di Keplero con i parametri orbitali relativi alla Luna (384400 km il semiasse maggiore e 27,321 giorni di periodo orbitale) e, ricordando la proporzionalità tra i quadrati dei periodi e i cubi dei semiassi, ottenere per un semiasse di 6780 km (raggio della Terra a cui sommare la distanza della ISS dalla superficie terrestre), un periodo di poco più di 90 minuti. In altri termini la ISS fa 15 volte il giro del mondo durante un giorno. La sua orbita è inclinata di 51,65º rispetto al piano equatoriale e per via delle perturbazioni dovute alla non sfericità e omogeneità della distribuzione della massa terrestre e al'interazione con Luna e Sole, l'orbita mantiene la stessa inclinazione ma il piano di giacenza ruota in ogni giro completo di poco più di 0,3º verso ovest per un totale di poco più di 5º in un giorno. Quindi in 72 giorni circa l'orbita torna prossima alle stesse condizioni viste da un luogo da Terra. Le opportunità per vedere la stazione dipendono dalla combinazione ideale delle condizioni che fanno sì che la ISS passi in orario notturno in prossima delle regioni della nostra latitudine e longitudine, si verificano quando il piano orbitale crea un angolo inferiore a 90º rispetto al piano del meridiano passante per la localitá di osservazione. La ISS risulterà ben visibile dopo il tramonto o prima dell'alba per circa tre settimane consecutive almeno una volta ogni mese e mezzo, intervallate da fasi di invisibilità completa di circa tre settimane. Consultando su appositi siti le finestre temporali, non più di 5-6 minuti, in cui la ISS sarà visibile, la si potrà vedere con un semplice binocolo distinguendone i particolari. Data la velocità che la caratterizza: 27740 km/h è abbastanza difficile poterla seguire con un telescopio. Questa enorme velocità è dovuta attualmente alle condizioni di equilibrio che si verificano durante il suo orbitare intorno alla Terra carraterizzato dalla conservazione del momento della quantità di moto. Questa velocità che sembra altissima è di circa 40000 volte più piccola della velocità della luce. Ma di circa 35 volte superiore a quello di areo di linea! Dalla stazione spaziale gli astronauti possono vedere la Terra scorrere sotto di sè ma non hanno tempo di farsi venire il mal di testa perchè sono occupati a fare molti esperimenti. E' infatti un bell'esempio di collaborazione internazionale che impegna Stati Uniti, Europa, Russia e Giappone.

L'ingresso della Cina è stato proposto dall'ESA. La stazione in orbita solca tutti i cieli del pianeta, a parte le regione prossime al circolo polare artico e antartico, e potrebbe fungere da messaggero per l'unità dei popoli, noi da Terra, almeno la possiamo vedere così.

giovedì 25 aprile 2013

Stelle cadenti

In questi giorni si sta verificando un fenomeno periodico ma sempre eccezionale: lo sciame delle stelle cadenti. Si verifica quando la Terra transita nella sua orbita in prossimità di zone dello spazio particolarmente denso di detriti provenienti dal passaggio di una cometa. Infatti le comete nella loro orbita molto eccentrica intorno al Sole, avvicinandosi a esso, rilasciano particelle che creano la coda delle comete stesse. Quando la Terra attraversa queste zone i detriti che entrano a contatto con l'atmosfera vengono bruciati dall'attrito creando scie luminose che marcano il cielo per una frazione di secondo. In questi giorni sono visibili le cosiddette "Liridi" che provengono cioé dalla costellazione della Lira. Gli sciami meteorici infatti sembrano provenire da un punto definito radiante per via della prospettiva che le linee parallele che in realtà seguono le scie, vengono viste da Terra. In questi giorni le stelle cadenti provengono da un punto che sta a est della stella Vega della Lira. In questi giorni si può vedere nella tarda serata nel quadrante nord un poco verso est. Sta infatti sorgendo la costellazione che ci farà compagnia per tutta l'estate insieme al Cigno e all'Aquila le cui stelle principali formano il triangolo estivo. Durante l'anno si verificano più sciami meteorici che si possono consultare nelle apposite liste per prevederle. Le prossime, a maggio, saranno le eta Acquaridis perchè provengono appunto dall'Acquario e quindi visibili poco prima del sorgere del sole. Un parametro che da un'idea della spettacolarità del passaggio è il tasso orario zenitale che indica quante meteore sono visibili a occhio nudo in una ora se il punto radiante fosse allo zenit. Un valore superiore a 1000 è caratteristico di una tempesta meteorica. Lo sciame meteorico più spettacolare generalmente è quello delle Perseidi che hanno il loro picco il giorno di S.Lorenzo, il 10 agosto.

domenica 14 aprile 2013

Newton ovvero la chiusura del cerchio

Isaac Newton è l'uomo che nel 1687 chiude il cerchio dando la spiegazione più esaustiva mai avuta per i fenomeni naturali e dá inizio alla fisica moderna istituendo quella che oggi si definisce meccanica classica. Serviva un grande matematico che giá aveva dato vita al calcolo infinitesimale per completare l'analisi e fare la sintesi di tutti gli studi precedenti di Copernico, Brahe, Kepler e Galileo. Il percorso seguito sembra infatti una staffetta a squadre, con l'ultimo frazionista che prende il testimone e taglia il traguardo portando la medaglia al gruppo. In questo caso peró il record è per tutta l'umanità: dopo la enunciazione delle leggi della meccanica, non c'è effetto senza causa e vice versa, non c'è causa senza effetto. Il tutto è retto da leggi matematiche ben precise. La ragione fa un balzo in avanti fenomenale: i fatti si possono spiegare si quantificano e si dimostrano... si possono addirittura prevedere. Certo questo vale in un campo ristretto come la meccanica celeste ma ben presto si vedrà che questi principi sono validi per tante altre circostanze con buona approssimazione. Dall'ipotesi di Copernico sull'eliocentrismo sono passati circa 150 anni e finalmente questa idea ispiratrice trova la sua prova irrefutabile nella teoria della gravitazione universale di Newton. Ci sono volute le osservazioni meticolose e precise di Brahe, la loro analisi che sfocia nelle tre leggi di Keplero in chiave eliocentrica, il metodo sperimentale, il telescopio e le osservazioni di Giove e le se lune e infine le definizioni di velocità ed accelerazione di Galileo: tutto questo è stato la premessa necessaria per permettere a Newton di formulare la sua teoria. La chiave di volta è stato capire che c'è una forza che attrae i corpi, la stessa che fa cadere i gravi sulla Terra è quella che tiene vincolata la Luna ad orbitarci intorno. Da quel momento Newton ha cercato di esprimere questa forza avvalendosi delle relazioni matematiche e in questo modo è riuscito a racchiudere in una semplice espressione tutti i fenomeni in forma univoca e sintetica. Il concetto di forza è il passo fondamentale che consente a Newton di esprimere compiutamente la relazione di causa-effetto con il moto dei gravi e dei corpi celesti. Capisce infatti che il motivo per cui una mela cade a terra è lo stesso per cui la Luna curva la sua traiettoria e rimane vincolata alla Terra senza mai allontanarsi e senza mai cadere. In entrambi i casi sia la Luna che la mela si spostano verso il centro della Terra attratti da qualcosa: una forza. La Luna a differenza della mela è dotata di una notevole velocità tangenziale che le consente di percorrere un arco dell'orbita come risultante della caduta verso Terra mentre fugge per la tangente. Si tratta di una forza centrale dove cioè il moto risultante punta verso il centro. Viene in aiuto lo studio di Galileo sul moto dei gravi dove istituisce la definizione di velocità come variazione nel tempo del percorso compiuto e di accelerazione come variazione nel tempo della velocità. Ci vorrebbe il concetto di derivata ma ancora non esisteva, ci pensa Newton a capire che il moto come effetto della forza è da ricercarsi nella accelerazione che segue in direzione e proporzionalmente la forza. A questo punto Newton è in grado di enunciare le sue tre leggi. La seconda delle quali è la famosa
f=ma
forza uguale massa per accelerazione, che tutti i fisici, gli ingegneri e quanti si occupano di descrivere i fenomeni della natura o ne fanno applicazioni pratiche non scorderanno mai. Si tratta di una relazione matematica tra tre grandezze, di cui due vettoriali, in cui si dice che tra forza e accelerazione c'è un fattore di proporzionalità che è la massa. Concetto che esprime la quantità di materia di un oggetto. Newton con una semplice scrittura matematica comprende tutti i casi in cui un corpo cambia il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, in questo caso va cercata sempre una forza come causa di questa variazione. Non esisteranno più fenomeni inspiegabili, indagando con il metodo di Galileo: sperimentando e ripetendo le prove in differenti condizioni si potrà sempre trovare la causa e quantificarne gli effetti. Questa legge è valida in tutti i casi però tornando al moto dei corpi celesti, Newton fa anche di più, al posto di della forza sostituisce una espressione che consente di avere la prima equazione differenziale del secondo ordine da risolvere, l'equazione della gravitazione universale. Sono passati poco più di 100 anni da quando si è formalizzato il modo moderno di scrivere le equazioni, e Newton ne propone una di difficile soluzione ma ci riesce. L'equazione viene dal completamento dell'analisi di Keplero seguendo il percorso deduttivo del ragionamento scientifico: se l'orbita è ellittica e vengono spazzate aree uguali in tempi uguali ed inoltre il quadrato del periodo orbitale è proporzionale al cubo del semiasse magiore dell'orbita si arriva a dedurre che la forza che provoca tutto ciò è proporzionale all'inverso del quadrato del raggio istantaneo dell'orbita. La dimostrazione non è molto semplice, ma nel caso di orbita circolare, con la velocità angolare costante, il calcolo si semplifica e basta pensare che la condizioni di equilibrio tra accelerazione centrifuga e accelerazione gravitazionale e con la terza legge di Keplero per la quale il quadrato della velocità angolare va come l'inverso del cubo de raggio per ottenere la relazione enunciata da Newton. Il processo induttivo è ugualmente complesso: significa integrare la equazione differenziale della gravitazione universale e trovare che tipo di funzione del raggio orbitale si può ottenere. Il metodo da seguire risolve in forma chiusa il problema dei due corpi dal quale si ottiene che le orbite possibili possono essere solo curve coniche: ellisse (circonferenza come caso limite), parabola o iperbole. Finalmente gli studi che avevano impegnato Apollonio nel 190 a.C. per descrivere le proprietà geometriche delle sezioni di un cono, trovano la loro più alta giustificazione: sono i soli moti ammessi nel nostro universo! Quindi Newton riesce a completare il percorso di sintetizzare brillantemente le deduzioni di Keplero con una legge matematica, che se risolta dimostra che comprende come soluzione possibile il moto dei pianeti intorno al Sole o dei satelliti intono ai pianeti, ma anche il moto delle comete non periodiche e il moto dei gravi che si osserva sulla Terra. Ulteriore grande merito di Newton è stato di capire che esiste una costante di gravitazione universale che non riuscirà a misurare e che verrà determinata 71 anni dopo la morte di Newton. Ma non è la sola cosa che Newton non ha chiarito ed è perchè esiste questa forza e come si trasmette. Il problema è ancora aperto anche se sembra aver capito tutto sulla gravitazione. La teoria di Newton è valida sotto la condizione che il rapporto tra le masse dei due corpi è vicina allo zero così come quello tra le velocità dei corpi e la velocità della luce, ben verificate per il sistema solare.

giovedì 4 aprile 2013

La rivoluzione scientifica

Gli anni del Rinascimento sono quelli in cui Galileo potè trovare territorio fertile per le sue idee e in cui vissero personalità geniali e coraggiose che anticiparono in parte i suoi studi e che, dopo di lui, li completarono. La rivoluzione scientifica avviene in un periodo di circa un secolo e mezzo tra la pubblicazione di Niccolò Copernico "Le rivoluzioni degli astri celesti" nel 1543 e quella dell'opera di Isaac Newton "I principi matematici della filosofia naturale" del 1687. La pubblicazione di Copernico anticipa e quella di Newton segue, la pubblicazione di Galileo: "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" del 1623. Ci sono state altre rivoluzioni scientifiche a cui hanno corrisposto cambiamenti di paradigma come la teoria della relatività di Einstein. Modi del tutto nuovi di intendere le cose che consentono di voltare pagina quando i tempi sono maturi e iniziare un nuovo corso delle cose. Questo non avviene solo per la scienza, tutti i fatti umani presentano epoche in cui valgono certi riferimenti e poi, quasi all'improvviso questi riferimenti vengono cambiati, in modo "rivoluzionario", per consentire al futuro di arrivare ed aggiornare la vicenda umana. In genere questi cambiamenti non sono poi tanto improvvisi, vengono anticipati da una serie di fatti che li precedono e li evocano come può essere per la fase economica e sociale che viviamo in questi anni. Tornando alla prima rivoluzione scientifica, essa fu il frutto del lavoro di alcuni studiosi in particolare, che sono stati i primi a sintetizzare idee già presenti nella loro epoca o ad associare esperienze anche lontane nel tempo che furono così recuperate. Per arrivare a Galileo è infatti necessario partire da Copernico e il suo "De revolutionibus orbium celestium" del 1540 pubblicato a due anni dalla sua morte a più di sessanta anni di età. Era molto che stava lavorando ad elaborare il sistema eliocentrico, circa 25 anni, ma preferì non pubblicarlo per evitare di entrare in conflitto con le teorie vigenti. Dai tempi di Tolomeo infatti non si era cambiato il modo di interpretare i fenomeni celesti. La Chiesa si era allineata alle teorie aristoteliche sulla perfezione del cosmo, che ponevano la Terra al centro dell'Universo... come da attendersi per la casa degli uomini figli di Dio. Copernico capì che mettendo il Sole invece della Terra al centro, il moto dei pianeti assumeva un'altra perfezione molto meno cervellotica del geocentrismo tolemaico. Di nuovo vedeva moti su sfere, non parlava di interazione di forze, ma tutto sembrava più in linea con le osservazioni. Non era stato il primo a pensare che i pianeti, Terra compresa, ruotano intorno al Sole, già l'astronomo greco Aristarco di Samo arrivò a queste conclusioni. Anche lui probabilemente avrà preso le idee da altri prima di lui per confrontarle con le sue osservazioni ma queste teorie furono perdenti rispetto alla mirabile costruzione logica di Aristotele. Certamente dopo tanti anni di oscurantismo medievale era difficile ammettere che tutti i corpi celesti erano sferici e soprattutto intendere che la Terra ruotasse su se stessa e che questo spiegasse il moto di stelle e pianeti durante la notte e del Sole durante il giorno. Sicuramente questo era difficile da giustificare contro l'obiezione del perchè allora le cose sulla superficie non volassero via. Ci vollero però altri due astronomi e matematici per consentire a Galileo di avere le condizioni giuste per arrivare al cambiamento di paradigma. Tycho Brahe (Danimarca, 1546-1601) raccolse moltissimi dati su posizioni di pianeti, Sole e Luna con una precisione mai raggiunta prima nell'osservatorio di Uraniborg e Stjornerborg. Lì osservò il moto di comete rendendosi conto che le traiettorie che seguivano erano delle ellisse allungate e non circonferenze perfette. Osservò anche l'esplosione di una supernova e si rese conto che il sistema Tolemaico non spiegava quello che vedeva. D'altronde non abbracciò mai la teoria copernicana anche perchè non ammetteva un moto proprio della Terra. Ma dopo di lui e grazie ai suoi dati Johannes Kepler (Germania 1571-1630) potè avvalorare la teoria di Copernico attraverso la matematica. Dimostrò che la centralità del Sole nel sistema copernicano consentiva di spiegare le traiettorie dei pianeti osservati da Brahe, vice versa questo non poteva avvenire se al centro ci fosse stata la Terra . Non riusciva ad accettare l'ipotesi di orbite ellittiche perchè si allontanavano dalla perfezione del mondo a cui aspirava. Ma era certo che le velocità di percorrenza delle orbite variavano, tanto più quanto più vicini i pianeti erano al Sole. Quindi ebbe l'idea che ci fosse una forza che si scambiavano il Sole e i pianeti che il Sole occupasse uno dei due fuochi dell'ellisse. Questa divenne la prima legge, mentre la seconda quantificava la relazione tra le aree spazzate dai pianeti lungo l'orbita e il tempo con cui avevano percorso una data area dello spazio. Infine rielaborando la massa di dati di cui disponeva si rese conto che c'era un'ulteriore relazione che dava conto della distanza dei pianeti dal Sole e cioè che il cubo dei semiassi maggiori delle orbite era proporzionale al quadrato dei tempi di rivoluzione intorno al sole. Questa fu la terza legge e insieme alle altre due permise a Isaac Newton (Inghilterra 1642-1727) di elaborare la teria della gravitazione universale attraverso una unica legge di causa-effetto le cui conseguenze erano appunto le leggi di Keplero in un rapporto di biunivocità perfetta tra osservazioni e teoria. Tra questi personaggi si inquadra l'opera di Galileo. Le idee rivoluzionarie di Copernico, Brahe e Kepler erano ancora divulgate in latino e rimanevano in ambienti accademici, fu Galileo a esprimerle in forma comprensibile ai più ed è per questo che divenne tanto pericoloso per le idee vigenti. Galileo ebbe il merito di iniziare a indagare il mondo in un modo nuovo, facendo esperimenti e misurando le grandezze fino a stabilire attraverso la matematica delle relazioni tra di esse. La geometria anche aiutava a rappresentare le situazioni reali in modelli ideali al cui livello poter speculare per ottenere risultati generalizzabili. Definì per primo i concetti di velocità istantanea, velocità media e accelerazione. Sostituì la filosofia aristotelica puramente teorica con una nuova razionalità basata sulla esperienza. Quando puntò il suo telescopio sulla Luna scoprì che non era affatto liscia ma caratterizzata da pianure e montagne e che le ombre si creavano anche lì come sulla Terra. Studiò le fasi di Venere, che si presenta come una falce, esattamente come la Luna, dando conferme alle teorie eliocentriche. Indagò anche sul Sole e scoprì le macchie e che esse cambiavano posizione nel tempo, con velocità diverse secondo la distanza dall'equatore. Il Sole stesso, corpo perfetto, quindi ruotava sul proprio asse. Comprese che i quattro corpi che ruotano intorno a Giove sono suoi satelliti come la Luna è per la Terra e per la prima volta l'uomo fece una scoperta al di fuori della Terra senza usare l'immaginazione. Anzi, tutto era ripetibile e a disposizione di chi ricevesse uno dei suoi telescopi di cui fece dono a molti tra studiosi e potenti del tempo affinchè si sincerassero con i loro occhi. Quando trattò anche le maree come un effetto della rotazione terrestre iniziò ad essere percepito come un pericolo per le teorie del tempo. Inoltre la sua convinzione era vista come presunzione rispetto alle teorie del grande Aristotele, che una dietro l'altra rischiavano di crollare. Quindi gli fu imposto il silenzio, ma quando pubblicò il "Dialogo sopra i massimi sistemi" in lingua volgare raggiunse il punto di non ritorno e sotto processo di eresia gli fu imposto di sconfessare le sue idee. Seguì gli studi di meccanica e continuò a pubblicare con definizioni, dimostrazioni e corollari dando gli strumenti della nuova fisica. Divenuto completamente cieco morì nel 1642 nello stesso anno in cui nacque il suo migliore successore tra i fisici del tempo: Isaac Newton. C'erano tutti gli strumenti e le idee perchè si producesse il definitivo balzo in avanti che avrebbe portato alla scienza moderna. In una breve formula matematica, Newton sarebbe riuscito a comprendere tutti i fenomeni che riguardavano la gravità, riunendo sotto una sola causa i moti dei gravi sulla Terra e quello di pianeti, satelliti e comete fuori da essa. Dopo lunghi anni di osservazioni a cui erano seguite delle deduzioni che avevano portato alle tre leggi di Kepler, dopo la definizione del metodo scientifico e dello studio delle relazioni tra le grandezze fisiche nel moto dei corpi fatto da Galileo, finalmente si poteva chiudere il cerchio. Attraverso una legge frutto di una sintesi estrema che condensava tutte le esperienze nella equazione di gravitazione universale, si poteva ridiscendere nel singolo fenomeno e inaugurare il metodo induttivo-deduttivo con il quale abbiamo costruito una razionalità nuova. I tempi erano maturi per studiare il "perchè del perchè" delle cose!