domenica 26 ottobre 2014

Orientarsi con le stelle: perchè funziona?

Abbiamo visto diversi casi in cui si può determinare la situazione geografica attraverso l'osservazione degli astri. Basta avere un cronometro con il tempo universale UTC, un sestante per sapere l'angolo di altezza dell'astro sull'orizzonte e l'almanacco nautico e dai casi più semplici ai più complessi è stato possibile conoscere latitudine o longitudine o entrambi. Per la latitudine il compito non è stato difficile, la soluzione più semplice è attraverso il sole nel passaggio al meridiano: con la sola accortezza di fare più misure nell'intorno del mezzogiorno locale o, quando, utilizzando una bussola il sole è posizionato poco prima del transito per il sud geografico e poco dopo. La conoscenza della declinazione del sole nell'epoca dell'anno riportata nell'almanacco è sufficiente per conoscere la latitudine. Si può usare anche un astro che transita nella notte per il meridiano, conoscendo la declinazione dell'astro: variabile se è un pianeta o la luna o fissa se è una stella. Il problema in questo caso è che la determinazione va fatta durante il crepuscolo nautico in cui l'orizzonte è ancora visibile, non dopo quando le stelle spiccano di più nel cielo ma non si vede più l'orizzonte. Lo stesso problema c'è per la stella polare, che essendo una stella non di primaria grandezza è difficilmente visibile nel crepuscolo. Ci darebbe quasi direttamente la latitudine con la sola lettura dell'angolo sull'orizzonte, ma nel caso pratico è di difficile utilizzo per misure precise. Per la longitudine abbiamo visto che ci sono notevoli difficoltà e imprecisioni. L'ora dell'alba o del tramonto di sole e luna possono permetterci una misura abbastanza precisa, come anche il passaggio al meridiano, sempre con una lettura del cronometro della massima precisione. Il modo più efficace per avere la determinazione di latitudine e longitudine con buona precisione è attraverso il metodo delle intersezioni delle rette di altura Marq. Bastano 2 astri che formino un angolo intorno dai 45 gradi in su di azimut tra loro e la misura delle loro altezza può permetterci la correzione della stima del punto nave. Perchè funziona? Il concetto è legato al fatto che il luogo dei punti sul pianeta che vedono il primo astro con lo stesso angolo di altezza nello stesso istante sono su una circonferenza che giace sulla superficie terrestre e che può essere calcolata una volta note la declinazione e l'angolo orario rispetto a Greenwich dell'astro. L'equazione che consente questa determinazione si ottiene esplicitando per l'angolo al polo h l'equazione della trasformata di Eulero ottenendo:
Anche il secondo astro è visto da un luogo di punti che formano una circonferenza sulla Terra che ha il suo centro nella direzione di dove l'astro vede la Terra sotto di sè e vice versa. Le due circonferenze si intersecano in due punti o sono tangenti nei casi limite. Uno dei due punti è la nostra posizione sulla Terra.
Questo stesso metodo è utilizzato nel GPS per risalire alla posizione di un trasmettitore che è visto da due satelliti in posizione note. Nel GPS è utilizzato un terzo satellite per discriminare anche l'altezza dal suolo e, nella pratica, un quarto per risolvere l'incertezza sulla simultaneità dei segnali. Nella figura è rappresentato il caso che ho trattato nell'ultimo post, quello della Luna e Giove nella posizione vera, risultato finale dell'analisi del punto nave. Il punto più in basso è appunto quello caratterizzato dalla latitudine l_v = 11º 10' N L_v = 72º 00' E al largo dell'atollo di Peremul. Vediamo ora le circonferenze intersezione nel caso della situazioni stimata che portava a delle altezze stimate che differivano, anche se di poco, dalle altezza vere, quelle misurate con il sestante. Le circonferenze sono leggermente sfasate rispetto a quelle vere, intersecandosi nel punto nave stimato.
Il determinante dato dal delta delle altezze e dall'azimut calcolato consente di correggere la stima e tracciare le rette di altura Marq e dall'intersezione fra queste permettono di ottenere la posizione corretta. Le circonferenze sfasate ci permettono di capire come funziona il metodo delle interseizoni di Marq. Se l'altezza vera è maggiore dell'altezza stimata la circonferenza d'altura passa per punti nella direzione verso cui viene visto l'astro. Nel nostro caso la Luna è vista sotto l'azimut di 280º, localmente la circonferenza può essere confusa con un tratto rettilineo e questa è proprio la retta di altura. Quest'ultima la spostiamo dal punto stimato di tanti minuti di grado quanti differiscono la stima e la lettura dell'altezza. Per il secondo astro, Giove, l'altezza vera è inferiore alla stimata, questo corrisponde a una circonferenza di altura spostata in direzione opposta all'azimut sotto cui viene visto Giove. Anche qui il determinante consente di spostarsi lungo l'azimut e tracciare la retta che linearizza la circonferenza e permette di individuare l'intersezione con la prima retta d'altura. L'intersezione fornisce la posizione vera. Il metodo è abbastanza laborioso: necessita di una perfetta misura con il sestante, l'osservazione pressochè contemporanea di due astri in corrispondenza della quale leggere con la massima precisione il cronometro, infine la soluzione passa per un calcolo trigonometrico non semplice senza calcolatrici e una soluzione grafica. Tutto questo è molto difficile eseguirlo in navigazione senza errori. La determinazione della posizione è molto sensibile agli errori commessi nella sequenza delle operazioni precedentemente descritte. Vediamo in un caso pratico di quanto ci possiamo allontanare dalla posizione vera. Con un buon sestante un errore di circa 10 minuti di grado è ammissibile pensando alla difficoltà della misura da fare mentre l'imbarcazione beccheggia, l'orizzonte si fa via via più evanescente e l'astro non è così luminoso da evidenziarsi nettamente nel gioco di specchi e filtri del sestante. Si raccomanda comunque di fare più misure successive o simultanee da parte di più persone. L'ora può essere determinata con molta precisione ma tra la prima e la seconda osservazione si può commettere un errore di un minuto sul secondo astro. Se l'errore viene commesso solo per l'osservazione di Giove, le conseguenze sono abbastanza contenute. Infatti l'errore di un minuto nell'osservazione ha un impatto nella determinazione dell'angolo al polo che varia di circa 2 gradi. Ma il deteminante non cambia sostanzialmente. Quello che porta le maggiori conseguenze è l'angolo misurato: con una riduzione di 10' del suo valore, il delta_a si riduce anch'esso di 10', mentre un eccesso di 10' porta a una sovrastima del delta_a di 10'. Riportato sulla carta, le intersezioni delle rette di altura, essendo molto oblique tra loro risentono dell'errore amplificandolo. Nel caso di difetto di misura l'errore sulla situazione vera è di circa 23' a Nord-Est. Mentre l'eccesso porta a un errore di 27' a Sud-Ovest. Se viene commesso anche un errore di 10' sull'angolo di altezza della Luna, la combinazione dei possibili errori porta a un massimo di 40' a Nord della situazione vera in caso di eccesso per l'angolo della Luna e difetto per l'angolo di Giove e 60' a Sud della situazione vera in caso di difetto per l'angolo della Luna e eccesso per l'angolo di Giove. Sotto queste condizioni di errore non solo si poteva sbagliare il nome dell'atollo ma anche arrivare a dire che eravamo già a terra o al contrario ancora in mezzo all'oceano... per fortuna del nostro naufrago non era così! Nella pratica bisogna sempre tener presente che la tollerenza sulle misure in particolare degli angoli fa sì che si determini un parallelogrammo entro il quale ci si situa con un'approssimazione in miglia che va con l'errore in minuti dell'angolo di altezza, eventualmente amplificato tanto più quanto più l'azimut dei due astri si allontana dai 90º di intersezione. Si può eventualmente aggiungere un terzo astro osservato per poter cercare di eliminare gli errori sistematici. Con questa tecnica si genera un triangolo tra le rette di altura e la situazione vera viene ad essere il baricentro di questo triangolo. In conclusione le stelle sono davvero come dei fari nello spazio, ma come per quelli sulla costa, bisogna saperle riconoscere e interpretare per ottenere una posizione sufficientemente corretta...anche se un'occhiatina al GPS, nell'era digitale, toglie sempre qualsiasi dubbio!

martedì 21 ottobre 2014

Orientarsi con le stelle: Luna e pianeti

Finalmente dopo tanto peregrinare, la stessa notte, il nostro naufrago vede delle luci all'orizzonte alle ore UTC = 23h 50m. Stima di trovarsi nel punto di latitudine: l_s = 11º 35' N e longitudine L_s = 072º 10' E. Pertanto l'ora locale è Hl = 4h 38m del mattino. L'isola che vede davanti a se dovrebbe essere quindi Bitra , un atollo delle isole dell'Unione in territorio indiano. Per averne conferma cerca nel cielo brumoso prima dell'alba due corpi celesti che lo aiutino a fare il punto nave. Sono ben visibili la Luna e il pianeta Giove quindi prende l'altezza dall'orizzonte con il sestante e applica il metodo dell'intersezione delle rette di altura che abbiamo visto la volta scorsa applicato a due stelle. Il metodo è lo stesso per i pianeti ma si deve tenere in conto che Venere e Marte sono corpi celesti vicini alla Terra pertanto necessitano di correzioni della parallasse. Per la Luna oltre a notevoli correzioni dovuti alla parallasse si deve tenere in conto che si sposta nel cielo durante il giorno di osservazione compiendo circa 13 gradi di ritardo che equivalgono a circa 50 minuti. Per cui in genere sono necessarie delle correzioni ulteriori che per le stelle non si utilizzano. Le correzioni sono comunque indicate nel almanacco. Prendiamo prima in considerazione il caso di Giove: viene misurata un'altezza strumentale pari a a_i_Jup = 40º 10.9'. Considerando la correzione per depressione dell'orizzonte (-2.5') e la rifrazione a 40º (-1.2'), l'altezza vera risulta è un pianeta lontano a_v_Jup = 40º 7.2'.
Consultando l'almanacco l'angolo orario risulta essere hG_Jup = 224º 16.6' alle 23. La correzione alle HG = 23h 50m è riportata nell'almanacco risultando c = 12º 30' a cui si somma 1.8' dovuti al Dif = 21 riportato sulla pagina del 10 / 10.
Pertanto hG_Jup = 236º 48.4' e data la longitudine stimata: hl_Jup = 308º 58.4' da cui l'angolo al polo risulta essere p_Jup = 51º 1.5'. La declinazione va anch'essa corretta nella stessa tavola che corrisponde a +50m e Dif = -1 che è pari -0.1'. Per cui la declinazione risulta d_Jup = 16º 5.7'. Ora si applica la formula di trasformazione di Eulero ottenendo il valore dell'altezza che si avrebbe come effetto della posizione stimata: a_s_Jup = 40º 21.8'. Il determinante dato dalla differenza tra altezza vera e stimata è pari a delta_a = -14.6'. L'azimut, dalla seconda delle formule di trasformazione è pari a z_s_Jup = 78º 16.7 a partire dal Nord verso Est. Ora occupiamoci della Luna. Per un corpo celeste che si presenta come un cerchio va preso un bordo, in genere il più basso e le correzioni già consentono di risalire al centro, analogamente a come si fa per il sole. Ci sono delle tavole specifiche che considerano la rifrazione, la parallasse e il semidiametro allo stesso tempo. Il nostro osservatore misura al sestante un'altezza del bordo inferiore pari a a_i_Luna = 50º 21.5'. Per il giorno 10 / 10 bisogna leggere nell'almanacco nel riquadro in alto sopra la colonna della Luna il PHE = 58.2' ottenuto interpolando con il giorno successivo. Si entra quindi nella tabella di correzione con l'altezza al grado e la parallasse orizzontale al minuto, leggendo: 52.4'.
Interpolando tra le parti proporzionali ai i minuti di altezza e la variazione di parallasse si ottiene: -0.1'. Considerando la depressione dell'orizzonte (-2.5) l'altezza vera del centro della Luna è: a_v_Luna = 51º 11.3'. Andiamo a leggere sull'almanacco l'angolo orario alle 23 risultando hG_Luna = 315º 38.6' e dalla correzione dei 50 minuti e del Dif = 86 si ottiene: hG_Luna = 327º 41.6' e per l'angolo orario locale hl_Luna = 38º 51.5 e stesso angolo al polo. La declinazione alle 23 d_Luna (23) = 15º 13.1, che corretta a 50 minuti con Dif = +63 con +5.3' risulta: d_Luna = 15º 18.4'. Utilizzando le oramai note formule di trasformazione possiamo quindi ottenere: altezza stimata a_s_Luna = 51º 5.6' che porta a un delta_a_Luna = +5.8' e z_s_Luna = 280º 20.2' (a partire da sud verso ovest). Siamo quindi in grado di costruire l'intersezione tra le rette di altura.
Troviamo che la posizione vera sta a circa 21' latitudine più a sud e 10' longitudine più a ovest. Il punto nave viene quindi: l_v = 11º 14'N e L_v = 072º 00' E. Quindi la terra avvistata è dell'atollo Perumal Par. Il viaggio del nostro naufrago ha finalmente avuto fine perchè conseguirà remando arrivare a terra ferma. Tutto quello che abbiamo visto circa l'orientamento con le stelle per la navigazione astronomica è quello che si potrebbe fare in condizioni ideali in cui il cielo notturno è visibile (assenza di nuvole o nebbia), l'orizzonte sul mare è visibile perchè siamo al crepuscolo prima dell'alba o dopo il tramonto, l'imbarcazione è abbastanza stabile da permettere una misura di altezza abbastanza agevole e il sestante da misure attendibili. Tutte queste condizioni sono difficilmente realizzabili e quindi ci si può aspettare che si commettano errori più o meno grandi. E' chiaro che in mare aperto un'approssimazione di una ventina di miglia e ammissibile mentre sotto costa questo è molto rischioso. Ma nonostante queste difficoltà i marinai del passato hanno tracciato le rotte della navigazione globale grazie alle stelle, ai pianeti, alla Luna e al Sole.

venerdì 10 ottobre 2014

Orientarsi con le stelle: le stelle

Sono passati alcuni giorni e le correnti hanno portato il nostro naufrago vicino alle coste occidentali indiane del mar arabico. Dopo varie sere e notti nuvolose finalmente, dopo una giornata tersa sono visibili le stelle al crepuscolo. E' il momento per fare il punto nave con precisione e per questo occorre poter vedere almeno due stelle. Il rilevamento dell'altezza delle stelle sull'orizzonte va fatto tra il crepuscolo civile e il nautico in cui l'orizzonte è ancora visibile. Nell'almanacco nautico son indicati gli orari corrispondenti a 6º e a 12º sotto l'orizzonte in cui vengono considerati questi due eventi in funzione della latitudine del posto. L'altezza delle stelle va quindi misurata rapidamente e data la scarsa velocità dell'imbarcazione si considera in genera di essere nello stesso luogo. Consideriamo due rilevamenti simultanei di stelle ben visibili nell'emisfero nord in prima serata come Vega della Lira e Antares dello Scorpione. La posizione stimata è l = 12º 30' N e L = 070º 20' E, alle 13h 50m UTC che corrisponde alle 18h 30m locali, vengono prese le seguenti altezze simultanee strumentali: a_alpha_Lyr = 59º 10.9' e a_alpha_Sco = 28º 52.0'. Alle altezze strumentali si ottengono le altezze vere correggendo la depressione all'orizzonte pari a -2.1' per via dell'altezza dell'osservazione a 2m come evidenziato nella figura seguente.
Inoltre la rifrazione funzione dell'altezza osservata comporta un'ulteriore correzione pari a -0.6' per alpha_Lyr e -1.8' per alpha_Sco come evidenziato nella figura seguente.
Le altezze vere risultano quindi: a_alpha_Lyr = 59º 7.8' e a_alpha_Sco = 28º 47.7'. Vediamo con queste informazioni come si può arrivare a correggere la posizione stimata per passi successivi. 1. Consultando l'almanacco nel giorno del 10 di Ottobre, si determinare l'angolo orario di Greenwich della linea dell'ariete interpolando tra gli angoli orari in cui è compresa la ora UTC secondo la figura dell'almanacco di seguito.
Da questa osservazione si ricava hGY = 226º 35.4'. 2. Nella lista delle stelle, si va in corrispondenza delle stelle osservate per ottenere l'angolo sidereo e la declinazione nel mese in corso. Per alpha_Lyr otteniamo A.S.=80º 50.6' e d = 38º 46.7', mentre per alpha_Sco otteniamo A.S.=112º 47.4' e d = -26º 24.8' come evidenziato nella figura seguente.
3. L'angolo sidereo si somma all'angolo orario della linea dell'ariete determinando l'angolo orario di Greenwich dell'astro. Nel nostro caso si ottiene: hGA = 307º 13.8' per alpha_Lyr e hGA = 339º 0.7' per alpha_Sco. 4. Dall'angolo orario di Greenwich, sommando la longitudine si ottiene l'angolo orario locale. L'angolo al polo si ottiene come l'angolo minore di 180º verso ovest o est dalla posizione locale. Otteniamo hl* = 17º 33.8' verso ovest per alpha_Lyr, hl* = 49º 20.7' verso ovest per alpha_Sco. 5. Con la latitudine stimata, la declinazione dell'astro e l'angolo al polo si aplicano le formule della trasformazione di Eulero per ottenere l'altezza stimata e l'azimut come segue.
Otteniamo a_e = 59º 25.6' per l'altezza stimata di alpha_Lyr e a_e = 28º 13.3' per l'altezza stimata di alpha_Sco. Mente per l'azimut otteniamo: z_e = 332º 27.8' per alpha_Lyr e z_e = 230º 25.7' per l'altezza stimata di alpha_Sco. Per determinare l'azimut se la cotangente è negativa il riferimento è il punto sud e l'azimut si determina a partire da 180º verso ovest o verso est a seconda della posizione determinata precedentemente. Verso nord se la cotangente è positiva. 6. Dalla differenza tra altezza vera e strumentale si ottiene il delta_altezza che con l'azimut permette di conoscere il determinante come da equazione seguente.
Otteniamo Delta_alpha_Lyr = - 17.8' e Delta_alpha_Sco = 33.5' 7. Con il determinante è possibile collocare la retta d'altura Marcq Saint Hilare. La retta d'altura è un segmento perpendicolare all'azimut stimato che linearizza localmente il circolo d'altura. Quest'ultimo è il luogo dei punti sulla terra da cui la stella viene vista sotto lo stesso angolo sull'orizzonte. Per ottenre il grafico si prende in genere un foglio di carta millimetrata in cui si traccia una circonferenza. Il centro sarà il punto nave stimato. La retta di altura si traccia perpendicolarmente all'azimut tracciato dal centro a una distanza pari al delta_a nella stessa direzione dell'azimut se il delta è positivo e in direzione opposta se il delta è negativo.
8. Dall'intersezione delle rette di altura è possibile ricavare la situazione vera. La latitudine vera si determina proiettando sull'asse verticale la coordinata dell'intersezione. La longitudine invece risente del fatto che a latitudine crescente 1 grado in longitudine è più piccolo di un grado in latitudine in ragione del coseno della latitudine. La carta consente di staccare il delta longitudine e in corrispondenza della latitudine del luogo determinare a che delta di longitudine corrisponde. Nel nostro caso quindi la posizione vera è: l = 12º 00' N e L = 070º 00' E. Questo metodo consente quindi di ottenere la correzione alla posizione stimata attraverso l'osservazione dell'altezza di due stelle conosciute e l'ora UTC dell'osservazione. E' fondamentale effettuare la misura dell'altezza con il sestante nel modo più preciso possibile. Va ricordato infatti che un errore di 1º si riflette su un errore dell'ordine 60 miglia nautiche! Di fatto le stelle corrispondono a osservazioni oggettive alla stregua dei fari sotto costa che consentono una navigazione rilevata o navigazione astronomica.

domenica 21 settembre 2014

Orientarsi con le stelle: la Stella Polare

Nell'emisfero nord siamo abbastanza fortunati ad avere una stella a cui praticamente punta l'asse di rotazione della Terra. Guardando durante una serata il cielo a intervalli di una mezzora, ci si rende conto che tutte le stelle percorrono archi nel cielo da est a ovest tranne una: la stella polare. Tutte le altre stelle a ben guardare girano intorno a lei! Si trova vicino alla costellazione dell'orsa maggiore, a circa 5 prolungamenti delle stelle Dubhe e Merak che sono le stelle che chiudono il carro. La stella polare in se non è molto evidente avendo una magnitudine variabile circa +2 ma è una stella importantissima perchè la sua altezza coincide quasi con la latitudine di un qualsiasi punto nell'emisfero Nord. L'errore che si commette è inferiore a un grado ma ricordando che un grado sono comunque 60 miglia meglio essere precisi. Quindi bisogna fare una misura accurata dell'angolo osservato, dell'istante di osservazione e approntare le dovute correzioni che sono tabulate sull'almanacco. Torniamo al nostro naufrago presso l'isola di Socotra. Viste le condizioni del vento e le correnti dominanti in direzione nord - est tipiche del mese di settembre in questa zona monsonica, stima la sua posizione alla mezzanotte pari a ls = 12º 20' N e Ls = 055º 20' E. Alle Hl = 00h 01m locali prende la misura dell'altezza della stella Polare pari a a0 = 12º 37.1', con le correzioni di -2.5' per depressione dell'orizzonte (fa la sua osservazione a 2 metri sul livello del mare) e -4.5' per via della rifrazione ottiene av = 12º 28.9'. Per poter utilizzare le tabelle di correzione per la polare occorre conoscere l'angolo orario locale dell'ariete che coincide con la linea del nodo ascendente. Visto che iniziamo a parlare di stelle ci viene utile lo schema della vista del triangolo di posizione dal polo nord. Posizioniamo il meridiano di Greenwich a ore 6, il meridiano locale 55º circa verso est e ci calcoliamo l'angolo orario istantaneo della stella polare. L'ora di Greenwich, vista la stima di longitudine è UTC = 20h 20m. Andiamo sull'almanacco e vediamo l'angolo orario dell'ariete alle 20h e alle 21h e interpoliamo ottenendo hGY = 303º 39.5' e lo rappresentiamo compiendo un angolo pari a quello calcolato partendo dalla posizione G in senso orario che corrisponde a hlY = 358º 39.5'. Ci troveremo a 2º dal meridiano locale! (non è del tutto un caso se pensiamo che siamo vicini all'equinozio, mancano solo 3 giorni e la linea dell'ariete alla mezzanotte coinciderà con il meridiano locale). Poi dalla linea dell'ariete aggiungiamo l'angolo sidereo di Polaris (alfa Ursae Minoris: aUMi) A.S._aUMi= 317º 05' e ci calcoliamo langolo orario da Greenwich: hG_aUMi = 260º 44.5'. Ultimo sforzo, sommiamo la longitudine stimata e troviamo hl_aUMi = 316º 04.5'. Lo schema che segue ci aiuta a capire la posizione relativa della stella.
Ora dobbiamo prendere la tabelle di correzione per la latitudine della Polare, la prima è funzione dell'angolo hlY, in corrispondenza del valore calcolato precedentemente otteniamo c1 = -29.1'.
La seconda tavola è funzione anche dell'altezza e la terza del mese dell'anno e otteniamo +0.2.
Quindi la latitudine viene ad essere la somma tra l'altezza vera e la correzione totale lv = av + ctot = 12º 00'. Si evince che la stima era sbagliata di 20' più a Nord, evidentemente le correnti hanno girato più a est del previsto e le 20 miglia attese forse sono state percorse verso est! Quindi quale sarà la longitudine attuale? Difficile dirlo con la sola stella polare, occorrono misure più precise e per questo bisognerà trattare in dettaglio i circoli e le rette di altura.

sabato 20 settembre 2014

Orientarsi con le stelle: il Sole

Nella navigazione astronomica servono alcuni concetti di base, conoscendoli, orientarsi diventa abbastanza facile. La misura del tempo è essenziale, come detto nel post precedente, conoscere l'ora di Greenwich con precisione permette addirittura di ovviare alla bussola. Se siamo in un punto dell'oceano senza sapere in che longitudine siamo, l'unica ora utile da sapere è quella del fuso che corrisponde al meridiano di Greenwich. Per cui il cronometro di bordo, in qualsiasi posto del mondo, segnerà l'ora di riferimento UTC (Universal Time Coordinated). Dato che nel periodo di una ora, la Terra compie 15 gradi (=360°/24h), un fuso orario, che ha appunto 15 gradi di longitudine di ampiezza, viene "percorso dal Sole" in una ora. Verso Est l'ora locale è in anticipo rispetto a Greenwich e il contrario verso Ovest. Conoscendo la longitudine di un luogo a Est di Greenwich, dividendo per 15 possiamo sapere quante ore sommare (se verso Ovest sottrarre) alla ora UTC: Hl = HG + L/15. Per esempio a L= 030° 00' E, l'ora locale sarà +2 rispetto a Greenwich. L'ora locale varia con continuità, anche per frazioni di ora, dal momento che è legata alla posizione del Sole. Mentre l'ora legale che viene utilizzata sulle imbarcazioni che fanno viaggi oceanici, viene stabilita per valori discreti entro +/- 7.5° intorno al fuso di riferimento (quindi tra L1=22º 30' E e L2=37º 30'E l'ora legale è +2 UTC). Infine si definisce ora ufficiale come l'ora che il governo di un paese decide per diverse ragioni, una quella geografica, ma non solo, tenendo in conto l'ora legale. Quando è incognita la longitudine, non possiamo però sapere l'ora locale, quindi dovrà essere stabilita sulla base delle osservazioni del Sole di giorno e degli astri durante la notte, che ci permetteranno conoscere la longitudine e di conseguenza l'ora locale. Secondo concetto essenziale è legato a come individuare di forma univoca un corpo celeste nei diversi sistemi di coordinate. La posizione di ogni corpo celeste determina il triangolo di posizione formato dallo zenit, il polo dell'emisfero dove ci troviamo (nel nostro è il polo nord) e l'astro stesso. Lo zenit è la proiezione del punto dove ci troviamo sulla sfera celeste è quindi caratterizzato da latitudine e longitudine terrestre. Per un navigatore nell'oceano la latitudine come la longitudine non sono note a priori, a meno che disponga del GPS, anzi è un'incognita del nostro problema. Nei problemi di navigazione dovremo far finta di saperla, o meglio, stimarla dall'ultima posizione nota e fare una verifica rispetto all'osservazione diretta dell'astro. L'osservazione è generalmente determinata dall'altezza dell'astro sull'orizzonte, misurata con il sestante e dall'ora UTC dell'osservazione. Il sestante è uno strumento che permette di riportare la posizione dell'astro sull'orizzonte grazie a due specchi di cui uno è fisso e l'altro può ruotare intorno a un asse. Lo specchio fisso divide in due parti un oculare per metà trasparente che si tiene fisso sull'orizzonte. La misura dell'angolo viene poi letta su un goniometro con la precisione del decimo di grado grazie a un nonio che permette di rilevare le frazioni del grado. L'altezza osservata viene poi corretta per gli effetti dovuti alla rifrazione, che dipendono essenzialmente dall'altezza dell'astro, e della depressione dell'orizzonte dovuto all'altezza diversa da 0 da cui viene fatta l'osservazione (per un veliero su può assumere 2 metri). Questi valori di correzione sono tabulati sull'almanacco nautico e consentono di ottenere l'altezza vera da quella osservata. Terzo elemento essenziale è l'uso dell'almanacco nautico. Entrando sull'almanacco nella pagina corrispondente al giorno dell'osservazione, per l'ora UTC dell'osservazione si possono ricavare declinazione e angolo orario dell'astro osservato. Per sole, luna e pianeti, l'almanacco fornisce per ogni ora UTC il corrispondente angolo orario. Per le stelle bisogna passare per la determinazione dell'angolo orario della linea dell'ariete e da questa, sommare l'angolo sidereo (A.S. = 360 - A.R.) per ottenere l'angolo orario. Vediamo prima dei casi notevoli per il triangolo di posizione dove almeno uno degli angoli è nullo e consente con semplici passaggi di ottenere la latitudine e/o la longitudine vera. Facciamo, come esempio, lo studio della determinazione della posizione con diverse osservazioni nel tempo. Contiamo solo su un cronometro, un sestante e l'almanacco nautico nonché una calcolatrice. Questo è quello che dovrebbe avere in dotazione Robert Redford nel film "All is lost" in cui dopo esser naufragato a largo dell'isola di Socotra viene trascinato dalla corrente. Le osservazioni e il relativo punto nave gli consente di sapere che sta attraversando una zona dedicata al passaggio di navi portacontainer da cui spera di avere un soccorso. Mettiamo che poco prima del naufragio abbia controllato la posizione e sappia stimare la posizione all'alba seguente in: ls= 11° 30' N Ls= 054° 00' E. Osserva sorgere il sole a UTC= 02h 11m del 19 settembre 2014. Si deve prendere l'istante in cui la parte superiore del Sole risulta tangente all'orizzonte visibile, per effetti della rifrazione e al semidiametro medio del sole corrisponde a una posizione del centro del Sole pari a 0º 50' sotto l'orizzonte. L'almanacco ci dà per la latitudine ls l'ora locale del sorgere alle Hl= 05h 49m con una differenza di 3h 38m con hG.
Moltiplicando per 15 otteniamo la longitudine che risulta essere Lv = 054° 30' E. Questo è il valore vero da considerare per le future osservazioni. Quindi c'è almeno un errore di poco meno di 30 miglia (30' di longitudine a circa 12º di latitudine) nella stima fatta precedentemente. Per la latitudine il metodo basato sul sorgere o sul tramonto del sole non è sufficientemente preciso da poterla determinare in modo soddisfacente. Aspettiamo dunque il passaggio del sole al meridiano superiore (quello del mezzogiorno). Questo è un altro punto notevole dove l'angolo tra il polo e l'astro si annulla e il triangolo di posizione degenera in un segmento. La latitudine si ottiene facilmente conoscendo la declinazione del Sole in un dato giorno ricavata dall'almanacco e l'altezza del Sole osservata e corretta e applicando la relazione l = d + (90 - a). Stavolta se abbiamo una bussola ci torna utile però non è necessaria. Quando il sole sta a circa 15 di gradi a Est del Sud preciso, quindi quando ha un azimut circa z = 165º si prende l'altezza e il tempo, poi lo prendiamo a z = 180º e poi a z = 195º. Dovremmo riscontrare che il Sole ha avuto circa la stessa altezza, durante le 3 acquisizioni, ma la centrale è leggermente più alta confermando che effettivamente corrisponde al passaggio al meridiano. La bussola purtroppo presenta delle deviazioni che dipendono dalla parte del mondo dove ci troviamo (verso i poli sono maggiori) e dai disturbi dovuti a oggetti metallici sull'imbarcazione o nelle vicinanze (anche cavi sommersi) per cui ci si può aspettare errori anche superiori ai 10º. Per cui l'ideale è consultare l'almanacco, leggere l'ora del passaggio al meridiano, PMG = 11h 54m, che corrisponde alla ora UTC = 8h 16m per l'ultima longitudine stimata.
Nella colonna del sole riportiamo tutte le osservazioni alla ora UTC (oramai conoscendo la stima della longitudine e dividendo 15 e sommando ala ora UTC otteniamo l'ora locale) e fare le 3 osservazioni 10 minuti prima, alla stessa ora e 10 minuti dopo del PMG.
Dalla relazione tra latitudine, declinazione e altezza, a ls = 11º 30' N ci aspetteremo di misurare l'altezza del sole a = 79º 57', invece l'altezza osservata è ao = 79º 14' che corretta per rifrazione e depressione orizzonte risulta essere l'altezza vera pari av = 79º 27' che corrisponde a lv = 12º 00' N, quindi ci siamo spostati 30 miglia a Nord. Questo è dovuto alle correnti (deriva) e ai venti (scarroccio) che hanno impresso una velocità alla scialuppa di circa 5 nodi in direzione Nord che per le 6 ore tra una osservazione e l'altra ha comportato lo spostamento di 30 miglia. Abbiamo visto come di giorno si può determinare la longitudine e la latitudine nei punti notevoli del passaggio del Sole, all'alba (o tramonto) e al passaggio al meridiano con semplici formule e l'uso dell'almanacco. Nel prossimo post vedremo come fare ulteriori rilievi per determinare il punto nave di forma via via più completa.

giovedì 11 settembre 2014

Orientarsi con le stelle

Guardando il cielo, si può avere la percezione che le stelle stiano lì a marcare delle forme e dei confini quasi come i punti sparsi di un sistema cartesiano proiettato su uno schermo sferico. I punti sono effettivamente distribuiti in modo un po' caotico, invitando a trovare delle forme geometriche formate da rettangoli, triangoli e linee che hanno finito per rappresentare figure associate a delle forme che richiamano alla memoria animali o figure mitologiche. Sono però punti che tra loro ripresentano sempre le stesse posizioni relative, si alternano nelle varie stagioni dell'anno tornando sempre nelle stesse posizioni a seconda dell'ora e del giorno. Insomma le stelle sono adattissime per orientarsi e così faremo spiegando il metodo che si usa tuttora per la navigazione... in caso che il GPS non funzioni! Non solo gli uomini ma anche alcuni animali sono in grado di orientarsi con le stelle: è notario il caso di alcuni mammiferi, uccelli, pesci e anche insetti. Sicuramente il loro metodo è meno scientifico del nostro che si basa sulla trigonometria sferica ma ugualmente efficace. Il concetto di base è che su una superficie sferica ogni punto può essere individuato da due coordinate: due angoli che corrispondono a paralleli e meridiani rispetto a un riferimento, esattamente come si fa per i punti sulla Terra che vengono individuati attraverso latitudine e longitudine. Sulla sfera celeste, la latitudine corrisponde alla declinazione, mentre la longitudine all'ascensione retta. C'è un ulteriore sistema di coordinate che è permette individuare la stella dal punto di vista di un osservatore sulla Terra: altezza e azimut. L'altezza sull'orizzonte equivale al parallelo della sfera che ha lo zenit come vertice, mentre l'azimut corrisponde al meridiano a partire dal polo nord geografico. Una stella si puó dunque individuare passando dal sistema di coordinate celesti a quello locale e vice versa. Tutte le sfere si possono considerare concentriche e le differenti trasformazioni sono di rotazione sugli angoli di Eulero. Un osservatore su una imbarcazione in un punto dell'oceano può sapere dove si trova in termine di latitudine e longitudine se sa l'ora di Greenwich e l'altezza di un astro: il sole o la luna di giorno o luna, pianeti e stelle durante il crepuscolo nautico (il sole è sotto l'orizzonte di non più di 12 gradi), cioé quando l'orizzonte è ancora visibile e l'oscurità del cielo è già sufficiente per vedere le stelle di maggiore magnitudine. In queste condizioni, partendo da un punto di coordinate stimate e l'altezza misurata con il sestante è possibile risalire alla posizione corretta. Se le stelle osservate sono due o addirittura tre l'osservazione è tanto più precisa. Si procede nel seguente modo: innanzitutto va stimata la posizione nella quale si sta navigando sulla base dell'ultima rilevazione precisa, la direzione della rotta, la velocità e il tempo intercorso. Il vettore spostamento dato da velocità (nodi) x tempo (ore) ci dá le miglia di cui ci siamo separati dal punto nave precedente. Quindi a latitudine e longitudine della vecchia posizione va aggiunta il delta latitudine e il delta longitudine determinati dal vettore spostamento. Per quanto riguarda la latitudine il calcolo del delta è semplice perchè basta passare dalle miglia percorse per la componente dello spostamento in direzione nord-sud e divedere per 60 per ottenere i gradi di cui ci si è spostati. Per il delta longitudine bisogna considerare che uno spostamento in miglia lungo la direttrice est-ovest diviso 60 permette il calcolo dei gradi di cui ci si è spostati solo nel caso che la latitudine sia nulla, ovvero sull'equatore. Per tutte le altre latitudini, la larghezza dello "spicchio" rappresentato da due meridiani successivi si va riducendo con l'aumentare di questa, quindi lo stesso spostamento in miglia, diciamo 60, corrisponde a 1 grado all'equatore misura 2 gradi di longitudine alla latitudine di Oslo (circa 60 gradi). Questo è dovuto al fatto che la longitudine si riduce con il coseno della latitudine. O in altri termini: la circonferenza in un parallelo va con il raggio del parallelo che va decrescendo verso i poli con il coseno della latitudine. Per calcolare corretamente la nuova longitudine bisogna quindi dividere lo spostamento angolare determinato dallo spestamento in miglia dividendo per il coseno. A questo punto serve solo l'almanacco annuale delle effemeridi, un buon cronometro che ci sappia dare con molta precisione l'ora di Greenwich a qualsiasi longitudine siamo e un sestante per misurare l'angolo di cui l'astro si eleva dall'orizzonte. Il procedimento analitico lo spiegherò in un prossimo blog per specialisti della navigazione astronomica, ma è interessante notare che di fatto neanche la bussola è più indispensabile. Questo procedimento ha consentito di risolvere il problema della scarsa affidabilità delle letture del nord magnetico dal momento che nei vari punti della terra le deviazioni magnetiche sono differenti e oltretutto cambiano nel tempo. Il principio di calcolo è basato sul fatto che la longitudine stimata ci consente di sapere che angolo ci separa dal meridiano di riferimento di Greenwich, l'ora ci dice quale è l'angolo che dobbiamo sommare per sapere dove si posiziona l'azimut dell'astro rispetto al meridiano locale. Bisogna poi posizionare il riferimento delle ascensioni rette delle stelle che è la posizione dell'ariete, da qui è facile posizionare i meridiani di appartenenza delle stelle intorno a noi. Dal momento que ogni ora la sfera celeste si sposta di 15 gradi verso ovest, dovremo trasformare l'ora in gradi e posizionarci rispetto al meridiano locale che è a sua volta posizionato rispetto a Greenwich e anche la stella osservata va posizionata rispetto a Greenwich attraverso il riferimento dell'ariete. In pratica ogni stella di data declinazione e ascensione retta di notte fa un certo arco nel cielo, per cui in un istante e luogo, altezza e azimut devono coincidere con la trasformazione di Eulero della sua declinazione e ascensione retta. Se tutti i parametri sono corretti, incluso l'ora (con precisione al minuto) e l'altezza (con precisione del sestante al decimo di minuto possibilmente), se ci sono differenze queste dipendono solo dalla posizione stimata e quindi il calcolo consente una correzione. Prendendo a riferimento più stelle, 2 o 3, la posizione corretta può essere intersecata fino ad eliminare gli ulteriori errori di misura. Il passaggio essenziale è pensare che una stella può esser vista ad una altezza misurata con il sestante solo in un luogo di punti sulla terra che descrive un cerchio sulla superficie terrestre. Localmente questo cerchio si può confondere con un segmento perpendicolare alla direzione con cui l'astro è visto, questo segmento fa parte della retta di altura o di Marq. Due rette di altura individuano un punto in forma univoca e 3 individuano un triangolo al cui baricentro cade la posizione effettiva della nostra imbarcazione. Vedremo come questo calcolo viene effettuato con poche nozioni essenziali di geometria sferica.

martedì 10 dicembre 2013

Quanto brilla Venere?

In questi giorni si può notare a ovest la luce del pianeta più vicino a noi farsi quasi imbarazzante. Può essere oramai scambiato per un aereo in fase di atterraggio. Poi evidentemente si nota che si muove lentamente nel cielo come le stelle che gli stanno intorno per tramontare verso le 19:30. Venere sta raggiungendo la sua massima magnitudine visto da Terra nella seconda settimana di dicembre, poi si approssimerà angolarmente al Sole e non potremo più vederlo con il sufficiente contrasto di oscurità. Quello che sta succedendo è il suo aprossimarsi a noi da ovest. Ha giá raggiunto il punto di massima elongazione ai primi di novembre quando l’angolo che crea con il sole, visto da Terra è massimo e quindi tramonta abbastanza dopo il Sole da campeggiare nel cielo di ovest in tutta evidenza. Avvicinandosi ulteriormente a noi il suo diametro apparente cresce ma nello stesso tempo non ci dà più la faccia completamente illuminata che aveva fino a un paio di mesi fa: inizia a farsi vedere solo uno spicchio. La quantità di luce che irradia, da una parte è maggiore per via del diametro apparente crescente, dall’altra la superificie illuminata vista da Terra diminuisce, per cui ci sarà una condizione di ottimo sotto la quale vedremo la massima magnitudine per poi ridursi velocemente. Lo studio della evoluzione della magnitudine di Venere con l’angolo con il quale noi lo vediamo è lo studio che voglio proporre per rispondere alla domanda del titolo. Prima di tutto bisogna studiare quale è la luminosità legata alla fase di un pianeta interno o della Luna. Dall’analisi degli angoli da cui vengono visti gli oggetti illuminati dal Sole, possiamo definire l’angolo della fase β come l’intersezione tra una sfera e un piano pasante per l’origine e l’asse zeta. Il risultato è una semiellisse di semiasse cos(β). Se prendiamo ad esempio il primo quarto di Luna, la superficie illuminata viene ad essere quello che rimane del semicerchio a cui viene sottratta una semiellisse e il secondo semicerchio. L’ellisse iscritta nel cerchio è la superficie che si va illuminando passando oltre il primo quarto fino a Luna piena. Successivamente si sottrae al cerchio illuminato la zona che rimane tra il semicerchio e la semiellisse. In sintesi se esprimiamo tutto in funzione dell’angolo della fase β, l’equazione della superficie illuminata è:
Per il seguimento del pianeta Venere possiamo riprendere lo stesso schema che abbiamo utilizzato per lo studio delle fasi e costruire il triangolo formato nel riferimento fisso Sole-Terra con il pianeta che si muoverà con una velocità angolare corrispondente al periodo sinodico cioè la differenza tra la velocità angolare del pianeta interno e quella della Terra:
Possiamo esprimere le relazioni geometriche in funzione dell’angolo δ che il pianeta ha con il sole e calcolare di conseguenza α e β considerando la Terra sempre a distanza fissa dal Sole pari al raggio medio dell’orbita. Allo stesso modo si può considerare l’orbita di Venere come una circonferenza senza commettere una grande imprecisione per il modello semplice che ci stiamo costruendo. Il tempo con cui si descrive l’angolo δ è quindi determinato dalla legge:
La zona di Venere illuminata dipenderà quindi dall’angolo β e dal quadrato del diametro apparente che è conseguente alla distanza tra Terra e Venere. La magnitudine merita un discorso a parte. Infatti il concetto di magnitudine che vale per le stelle ha una origine lontana nella suddivisione di Ipparco delle stelle di prima fino a sesta grandezza. Per mantenere questa suddivisione si è definita una funzione logaritmica per la quale tra le stelle di prima e di sesta grandezza ci fossero circa 2 ordini di grandezza della luminosità percepita, istituendo così il fattore circa pari a 2.5 proveniente dalla radice quinta di 100. La stella di riferimento di magnitudine 1 è Vega. A questo punto corpi di magnitudine superiore hanno iniziato a prendere i valori negativi, compresi i pianeti, Luna e Sole. Un successivo passo è stato fatto con la istituzione della magnitudine assoluta che tiene conto anche della distanza dell’oggetto che emette la luminosità e relazionandola con la magnitudine apparente come viene vista da Terra secondo la equazione:
Dove m è la magnitudine apparente e D è la distanza della stella in parsec. Per un pianeta la magnitudine assoluta è una proprietà che dipende dalle caratteristiche del pianeta stesso e si definisce secondo la magnitudine che avrebbe se stesse a 1 AU di distanza dal Sole e dalla Terra. Riassumendo il calcolo della magnitudine di Venere parte dall’equazioni esposte nel post del 6 luglio che permettono di calcolare la distanza D e l’angolo della fase β del pianeta in funzione dell’angolo δ che questo forma tra sole e terra. Moltiplicando la superficie illuminata esposto sopra per il diametro apparente, dal calcolo del logaritmo si ottiene infine attraverso un fattore la magnitudine. Come illustrato nella figura seguente la magnitudine un valore minimo, che corrisponde alla massima luminosità in questi giorni.
Dalla figura si può notare che passata la metà del mese di dicembre la magnitudine andrà rapidamente decrescendo fino a non essere più osservabile già ai primi di gennaio. Dalla mia terrazza il pianeta vicino appare al telescopio come una piccola mezzaluna in posizione orizzontale.
...e a guardar bene anche ad occhio nudo si capisce che non si tratta di un disco luminoso ma qualcosa di più schiacciato... e questo è il perchè!