sabato 2 gennaio 2016

Inseguimenti, allineamenti e sorpassi nel cielo

A fine ottobre si è verificato un allineamento eccezionale alle prime ore del mattino.
Bisognava alzarsi abbastanza presto per poterlo vedere e quindi può essere sfuggito ma si è arrivato ad avere 5 corpi celesti nello stesso settore di cielo a est prima del sorgere del Sole.
I più evidenti erano Venere e Giove, molto vicini, meno visibili Marte e, in basso verso l'orizzonte a est Mercurio e infine è passata la Luna calante poco prime della Luna nuova. Tra la prima foto e la seconda possiamo vedere come Marte ha superato Giove passando a est di quest'ultimo in circa 12 giorni di tempo. Nei giorni tra il 24 e il 26 di Ottobre Venere e Giove si sono quasi sovrapposti creando una condizione eccezionale nel cielo. Già il 7 Novembre, al seguente allineamento con la Luna decrescente, alle prime ore della mattina, Venere aveva superato Giove e anche Marte verso est come si vede nella foto seguente.
Questo succede perchè la prospettiva dalla Terra ha consentito di vedere corpi lontani tra loro come Giove, Marte e Venere proiettati nella stessa zona di cielo in un momento della loro orbita intorno al Sole come si può vedere dall'immagine tratta dal Solar System Simulator.
Si è potuto anche notare quanto rapidamente la posizione dei pianeti vista da Terra si è andata evolvendo. In pochi giorni Giove è passato dalla posizione più bassa verso est alla più alta tra Venere e Marte e si è andato allontanando di parecchi gradi ormai rispetto a Venere. Questo è dovuto alla velocità angolare relativa che ogni pianeta ha rispetto al Sole e rispetto alla Terra. La rotazione che la Terra compie intorno al Sole che corrisponde a poco meno di un grado al giorno va sottratta alla velocità di rotazione del pianeta intorno al Sole. La differenza tra i periodi dei pianeti e quello della Terra determina il periodo sinodico che è quello che più conta nella periodicità dei fenomeni visti da Terra. Per cui Venere è il pianeta che si sposta più rapidamente guadagnando ogni giorno posizione più a est, mentre Marte che è leggermente più lento della Terra, si sposta, vista da noi, poco a poco più a ovest. Giove, essendo il più lento tra i pianeti menzionati, si sposta ogni giorno più a ovest per via in realtà dello spostamento della Terra verso est e in conseguenza al punto di vista relativo della Terra. La velocità con cui i pianeti si spostano tra le stelle non dipende solo dal periodo sinodico ma anche dalla posizione reciproca che il pianeta e la Terra hanno rispetto al Sole. Studiamo lo spostamento che in un giorno Venere può fare vista da Terra. Definiamo un sistema di riferimento centrato nel Sole e con asse x la congiungente Sole - Terra e stabiliamo un angolo theta rispetto all'asse x con cui individuare il pianeta nella sua rotazione intorno al Sole. Dalla figura seguente si può vedere l'angolo beta (in blu) tra la Terra e Venere in funzione di theta e l'angolo da cui viene visto il giorno successivo (in rosso).
Si può notare che l'angolo massimo che si può determinare è di circa 46º che corrisponde alla massima elongazione. La differenza tra i due angoli, delta_beta è l'angolo a cui siamo interessati perchè è quello che avvertiamo proiettando tra le stelle le posizioni di Venere in due notti consecutive. Nella figura seguente possiamo vedere la variazione in minuti che vediamo da Terra.
Nei primi 15 gradi di theta è praticamente impossibile vedere Venere perchè è troppo vicina al Sole. Noteremmo una varizione positiva cioè un avanzamento verso Ovest tra le stelle. Ma da theta = 15º in poi vediamo lo spostamento verso Est di Venere che vedremo in tutti gli altri angoli fino ai 180º. Lo spostamento verso Est è normalmente osservabile dovuto al fatto che Venere ruota intorno al Sole verso Est, come tutti gli altri pianeti, ed è più veloce della Terra. Lo spostamento angolare osservabile tra due giorni consecutivi aumenta fino a 1º al giorno verso Est quando l'angolo theta che forma con il Sole è di circa 45º. All'aumentare di questo angolo la differenza angolare incrementa fino a tendere a 1º 15' con l'approssimarsi di nuovo al Sole in Congiunzione (theta = 180º). Il fenomeno segue specularmente una volta passato a Ovest del Sole tenendo in conto i 15º prima e dopo di invisibilità. Il fenomeno descritto vale per un pianeta interno come Venere, ma vediamo cosa succede per un pianeta come Giove, esterno all'orbita terrestre. L'angolo visto dalla Terra durante la orbita di Giove (in blu) varia da 0º a 180º senza limiti come mostrato nella figura seguente.
L'angolo che Giove crea con la Terra il giorno seguente (in rosso) cambia molto poco, ma la differenza in minuti mette in evidenza un diverso andamento rispetto a Venere. Nella seguente figura il delta_beta ha un andamento differente da quello visto per Venere.
Dapprima, quando Giove è in opposizione, lo spostamento che si nota tra due notti consecutive è verso Est, poi, superati i 50º sull'orbita è verso Ovest. Il delta_beta quotidiano raggiunge il suo massimo poco inferiore di 15 minuti di grado verso la congiunzione con il Sole. Vediamo infine il caso se Giove é allineato a Venere. Partendo dalla congiunzione di Venere con la Terra, con theta = 0º, Giove si trova a gamma = 180º. Nella figura seguente è possibile vedere l'andamento dell'angolo gamma lungo tutta l'orbita di Venere.
L'angolo minimo a cui si può verificare allineamento è di circa gamma = 126º quando theta = 50º circa. O dalla parte opposta dell'orbita si può avere il valore massimo gamma = 234º. Cioè in punti dell'orbita di Giove compresi tra un arco di 54º intorno al punto di opposizione si può avere allinemaento con Venere. Nella figura seguente è rappresentato l'angolo delta_beta ottenuto dalla differenza dell'angolo relativo tra Venere e Giove in due notti consecutive, in funzione dell'angolo theta che Venere ha con il Sole nel percorrere la sua orbita.
Nei primi 15º l'angolo relativo è verso Est, poi accresce la differenza fino a raggiungere i 60' di arco quando theta = 95º. Successivamente il valore non aumenta e rimane pressochè costante pari a 1º verso Ovest. Questo è dovuto essenzialmente al moto della Terra intorno al Sole che a grandi distanze dai due pianeti proietta la posizione variandola con un periodo che è la differenza dei periodi sinodici. Abbiamo infatti osservato come rapidamente Giove si è allontanato da Venere dopo averla superata. Tra poco Venere si precipiterà di nuovo verso il Sole mentre Giove va spedito verso la sua opposizione alla Terra. Ora all'alba del 1 gennaio Giove si è allontanato verso ovest tanto da Venere da non essere quasi possibile contenere i due corpi nella stessa foto come si vede nella seguente foto.
Di nuovo la Luna è situata tra i pianeti più vicini a noi, poco a est di Giove. Marte è quasi equidistante tra Giove in alto e Venere a est in basso sull'orizzonte. In circa 2 mesi e mezzo Venere si è spostata di 2 costellazioni a est, ora è nello Scorpione e sta raggiungendo anche Saturno che tra un po' superarerà. Marte si è spostato più lentamente nella Vergine mentre Giove è ai confini della costellazione del Leone dove trovavamo tutti e tre i pianeti nel momento dell'allineamento di fine ottobre. In 68 giorni lo spostamento relativo tra Venere e Giove è stato di poco più di 70 gradi. L'andamento della differenza angolare tra la posizione di Venere e Giove visti dalla Terra è rappresentato nella figura che segue da cui si vede una differenza di poco più di un grado al giorno che va cumulandosi durante poco meno quattro mesi dopo l'allineamento, dopodichè Venere, passando ad essere vespertina tende a raggiungere Giove da ovest.
Grazie alla superiore velocità orbitale della Terra vedremo Giove sfilare verso ovest fino all'opposizione (visibile a sud a mezzanotte) verso metà marzo, ci costerà di più raggiungere Marte ma a maggio lo vedremo anche lui in opposizione. Mentre Venere ancora più veloce di noi sparirà inghiottita dal Sole verso est giá ad aprile. Ai primi di giugno anche Saturno sarà in opposizione. Ad agosto vedremo Venere riapparire a ovest praticamente allineata con Giove prima del tramonto e successivamente a novembre la troveremo allineata con Saturno e tra un anno circa la troveremo allineata a Marte in un continuo inseguimento e sorpasso!

mercoledì 25 novembre 2015

Determinazione dell'ora del tramonto (e dell'alba) per marinai

Abbiamo visto l'ultima volta che un fenomeno caratterizzato da un andamento sinusoidale può essere facilmente calcolato con una semplice regola mnemonica. Possiamo provare ad applicarla alla determinazione dell'ora del sorgere e tramonto del Sole una volta nota la sua declinazione. Quest'ultima la possiamo determinare con la stessa regola perchè varia tra 23.4º il 21 giugno a -23.4º il 21 dicembre e in prima approssimazione segue una perfetta sinusoide che passa per il valore nullo nei giorni di equinozio, il 20 marzo e il 23 settembre. Possiamo scegliere la migliore regola da applicare che presentava lo scostamento minore con il valore corretto. Scegliamo la sequenza 1-3-4-4-3-1 che chiameremo "regola del marinaio" per valutare la declinazione del Sole il 21 Novembre, al secondo mese dopo il solstizio. La declinazione si è ridotta di 7/8 di 23.4 gradi cioè il Sole sta -20.475º. Questa declinazione corrisponde piuttosto al 23 Novembre, un errore di soli 2 giorni, che conferma la validità della regola approssimata che abbiamo scelto. Abbiamo visto nel post del 10/10/2014 che si applica la trigonometri sferica per calcolare l'altezza a di un astro di data declinazione d in un certo luogo di cui è nota la latitudine l e longitudine e l'ora p. Se invertiamo l'equazione per determinare l'altezza a possiamo determinare a che ora il Sole passa per l'orizzonte quando questa si annulla. L'equazione dell'atezza è la seguente:
L'equazione dell'altezza non corrisponde a una sinusoide ma ne è abbastanza simile quindi possiamo studiare come approssimare l'andamento con l'equazione con la quale abbiamo studiato le maree che va da un minimo dell'altezza del sole alla mezzanotte a un massimo al mezzogiorno. I due valori estremi dipendono dalla colatitudine c = 90- l e dalla declinazione d del Sole presa con il segno. Precisamente l'altezza del Sole al mezzogiorno sarà H(12)= c + d e alla mezzanotte H(24)= -c + d. L'ampiezza totale da minimo a massimo è pari quindi a 2c, da cui la colatitudine c risulta essere la semiampiezza. Con l'equazione dell'altezza approssimata possiamo determinare l'ora di intersezione con l'orizzonte annullando l'altezza. L'equazione di una sinusoide con queste caratteristiche nel tempo da 0 a 24 ore è quindi:
Si tratta di una sinusoide di ampiezza c e traslata di d sull'asse dell'altezza solare. Da un confronto tra i due grafici possiamo vedere che le due curve non coincidono, ma presentano delle differenze al crescere della declinazione d del Sole nel senso che la variazione di altezza è più ripida nel caso corretto rispetto a quello approssimato.
Per quanto riguarda l'attraversamento dello zero, che corrisponde alla condizione dell'alba o del tramonto si ha una differenza sempre positiva per il caso approssimato che ritarda l'ora del tramonto per declinazioni positive e il contrario per declinazioni negative. Scriviamo quindi l'equazione dell'ora del tramonto nel caso corretto e approssimato:
La differenza in minuti che si ottiene alla latitudine di 40º è rappresentata dalla dall'andamento del seguente grafico che è praticamente lineare con la declinazione.
Quindi alla latitudine di 40º bisognerà sottrarre circa 1,16 minuti per ogni grado di declinazione del Sole. Per latitudini differenti il valore della differenza in minuti cambia in modo più evidente quanto più ci si avvicina all'equatore. L'ulteriore passo è cercare la condizione di attraversamento dell'orizzonte per individuare il valore che si ricava dall'interpolazione lineare dell'equazione che otteniamo dalla regola del marinaio. Per determinare l'ora del tramonto, dividiamo in 6 intervalli di due ore ciascuno il tempo dal mezzogiorno alla mezzanotte: dopo 4 ore sappiamo che il Sole ha perso metà della semiampiezza (cioè la colatitudine), dopo 6 ore ha perso la semiampiezza, nelle due ore successive perde un'altra metà della semiampiezza. Quindi la condizione di attraversamento si incontrerà intorno alle ore 18, in anticipo nei mesi autunnali e invernali e dopo le 18 per quelli primaverili ed estivi. Se scriviamo l'equazione del segmento che intorno alle ore 18 rappresenta la condizione di attraversamento dell'orizzonte per l'applicazione della regola del marinaio all'equazione approssimata otteniamo la seguente espressione:
La relazione è molto semplice perchè lineare con la declinazione e tiene in conto il complementare della latitudine nel coefficiente angolare. Il risultato che si ottiene dall'interpolazione lineare (in rosso) è in ottimo accordo con il valore che si ottiene con l'andamento approssimato (in blu) come si può vedere dalla figura che segue in cui è stato evidenziato anche il valore esatto (in verde).
In questo modo possiamo determinare dopo quante ore passato il mezzogiorno si verifica il tramonto o quante ore prima si ha l'alba. Per esempio per un luogo che ha latitudine l = 40º la colatitudine è c = 50, quindi il 21 novembre il tramonto si dovrebbe verificare alle ore UT: 4h 44m (tenendo in conto la correzione tra metodo approssimato e esatto). Allo stesso modo, in forma speculare, si può determinare quante ore prima del mezzogiorno si verifica l'alba. C'è un'ulteriore correzione da fare che viene dall'equazione del tempo. Quest'ultima variazione tiene in conto la differenza del mezzogiorno del sole medio, secondo l'orologio, e l'effettiva posizione del transito a Sud nel passaggio al meridiano del Sole. Questa differenza è dovuta alla forma dell'orbita che è ellittica e all'angolo di inclinazione del piano equatoriale terrestre rispetto a quello dell'eclittica in cui giace l'orbita. Da qui risulta che a Novembre il Sole transita al meridiano prima del mezzogiorno dell'orologio di circa 14 minuti. Sottraendo 14 minuti otteniamo un orario per il tramonto alle ore UT: 4h 30m. Se vediamo l'almanacco nautico il tramonto è di circa 7 minuti più tardi per via del fatto che si deve tern in conto il fenomeno di rifrazione. La relazione lineare in funzione della declinazione che abbiamo determinato interpolando la regola del marinaio applicata all'altezza del Sole può essere parametrizzata per differenti latitudini ottenendo l'andamento del delta del tempo in minuti rappresentato nella figura seguente.
Possiamo quindi concludere che con una semplice regola dell'approssimazione del marinaio alla sinusoide, l'errore nella determinazione dell'ora del tramonto può essere contenuto nei 10 minuti. Questa operazione si può fare quasi senza calcolatrice, anche stando in mare... senza bisogno di molte tavole. Per fortuna i fenomeni descritti da equazioni sinusoidali, la maggior parte in astronomia, non sono poi così ostici come sembrano potendo contare su una fase praticamente lineare per un terzo del semi-periodo prima e dopo l'attraversamento del valore medio dell'ampiezza di oscillazione!

lunedì 19 ottobre 2015

Maree e numeri

La marea è un fenomeno così evidente nelle coste europee sull'oceano Atlantico, da cambiare completamente l'aspetto dei luoghi in un intervallo di poche ore. E' un fenomeno legato alla presenza della Luna e alla conseguente variazione sulla superficie terrestre del campo gravitazionale creato dal Sole. In prima approssimazione l'alta marea si può considerare come la deformazione che la Terra subisce durante la rotazione diurna, quando il meridiano locale passa in corrispondenza della Luna o ai suoi antipodi. Avviene quindi due volte al giorno ogni 12 ore e 25 minuti (non perfettamente 12 ore perchè nel frattempo la Luna si sposta nella sua orbita che provoca un ritardo di circa 50 minuti in un giorno intero) circa intervallata da due fenomeni di bassa marea nelle 24 ore del giorno. Bisogna quindi aspettarsi che ogni circa sei ore si passi da una bassa a una alta marea e viceversa. E' quindi sempre presente sulla Terra, riguarda le rocce, l'atmosfera e tutte le masse di acqua libere di spostarsi. Nel Mediterraneo e nei laghi questo fenomeno è meno evidente per via di una ridotta capacità di smuovere grandi masse di acqua e le variazioni che provoca nel livello del mare sono di pochi centimentri. Nella costa Atlantica questo fenomeno è invece macroscopico e può superare la decina di metri di variazione. Nelle immagini sottostanti è possibile vedere come si presenta la baia della Caleta a Cadice con alta e bassa marea.
La strada per il castello di S.Sebastian sul mare in alta marea diventa circondata dagli scogli con la bassa marea, mentre le barche che galleggiano ormeggiate vicino il castello di S.Canterina in alta marea sono appoggiate sulla sabbia durante la bassa marea.
Questo aspetto è molto importante per la navigazione, bisogna infatti sempre conoscere quale è il livello che raggiungerà il mare durante una bassa marea per valutare se ci sono rischi di incagliarsi sul fondo. Inoltre le maree provocano flussi e riflussi molto intensi soprattutto in corrispondenza di stretti o canali e con essi delle pericolose correnti da tenere in conto per la navigazione o il nuoto. La teoria moderna delle maree si fa risalire a Laplace che determinò le equazioni che governano il fenomeno e da queste e ulteriori osservazioni si sono andati determinando i parametri che più incidono. Principalmente la Luna e la sua posizione relativa rispetto al Sole. Se la Luna è allineata al Sole e alla Terra, in fase di Luna nuova o plenilunio, si determinano le maree dette Sigizie, le più intense perchè si sommano in fase gli effetti della Luna e del Sole. Se la Luna e al quarto crescente o al quarto calante le maree sono meno intense. Inoltre se la Luna è più prossima alla Terra al suo Perigeo e in più la marea è sigizia, la marea risultante è ulteriormente amplificata. Le maree risentono della conformazione dei fondali, delle masse di acqua spostabili e delle correnti per cui nel mondo si sono determinate delle mappe con le maree attese. Ci sono anche luoghi dove le maree hanno una periodicità diurna anzichè semidiurna. Ulteriore parametro che influisce sulle maree è la pressione atmosferica: fatto riferimento a 1013 hPa, ogni hPa (o mbar) in meno determina 1 cm in meno nel livello di marea. Quindi le maree più intense sono quelle sigizie invernali quando si verficano forti temporali e conseguenti basse pressioni. In tutti i luoghi dove questo fenomeno è importante, sono disponibili delle tabelle con l'ora in cui avviene l'alta e la bassa marea e i relativi livelli riaggiunti rispetto a un livello di riferimento, detto Datum, che corrisponde al minore livello delle basse maree riscontrato nella storia delle osservazioni. Questo livello è marcato sulle mappe nautiche come linea di costa e da questo livello si calcolerà il livello di profondità durante le fasi di marea. Se consideriamo la superficie della Terra deformata sotto l'azione del campo di marea come una ellisse e ne vogliamo studiare la forma che assume a un osservatore in rotazione con essa durante 1/4 di giorno, si ottiene un modello semplificato retto dall'equazione seguente sotto l'ipotesi di piccola variazione dell'ampiezza di marea (ordine della decina di metri) rispetto al raggio terrestre:
dove la variabile x varia tra 0º e 180º per via di una conveniente duplicazione di angolo che permette abbassare il grado della espressione che si ottiene dalle equazioni parametriche dell'ellisse. L'equazione che consente al navigatore conoscere il livello d'acqua dalla linea di galleggiamento e determinare rischi di incagliamento è la seguente:
dove il livello di sonda riscontrabile è dato dal Datum nel punto nave (S0), il livello della bassa marea del giorno (Slt), il termine dovuto alla pressione atmosferica (Sp) e a cui si somma il termine dell'ampiezza della variazione di marea diurna instantanea che deve essere calcolata dalla formula precedente. L'ampiezza istantanea si calcola dalla ampiezza totale, data dalla differenza tra la quota di alta e bassa marea e tenendo in conto l'istante in cui si esegue il calcola in funzione dell'angolo fatto 0º l'angolo che corrisponde al tempo di bassa marea e 180º quello di alta. La formula che si utilizza nel semi-periodo di marea è una approssimazione delle varie componenti ma per la sicurezza della navigazione è sufficiente. Come visto si tratta di una funzione trigonometrica, che come noto è legata alla misura della semi-corda di una circonferenza in funzione dell'angolo. Normalmente si ottengono valori irrazionali, cioè determinati da radici di numeri interi, per questo la funzione è detta trascendente. Ma per fortuna dei marinai non bisogna essere degli esperti in trigonometria per sapere lo stato della marea una volta note le tabelle quotidiane. Infatti nella maggior parte dei casi l'ampiezza di marea si determina senza calcolatrice o applicazioni elettroniche con un semplice calcolo: la
regola dei dodicesimi
. Dividendo in sei ore l'intervallo tra la bassa e alta marea, senza commettere un grande errore visto che in 6 ore la Terra compie 90º e quindi in questo lasso di tempo si passa da una alta marea quando il meridiano passa in corrispondenza della Luna a una bassa marea quando questa è in quadratura rispetto al passaggio per il meridiano. La regola stabilisce che al termine della prima ora la marea è cresciuta di 1/12 (8.3%), alla seconda aumenta di altri 2/12 fino a raggiungere i complessivi 3/12 (25%), alla terza sale di 3/12 cumulando i 6/12 (50%) raggiungendo il valore del livello medio delle acque in una determinata zona. La variazione durante le tre ore successive viene calcolata in modo speculare cioè si incrementa di 3/12 alla quarta ora cumulando i 9/12 (75%), poi altri 2/12 alla quinta ora raggiungendo gli 11/12 (91.7%) e infine l'ultima ora consente di aggiungere l'ultimo 1/12 rimanente per completare i 12/12 della massima ampiezza che consente di realizzare la alta marea. Visto che la funzione esatta del modello semplificato la conosciamo, possiamo riscontrare che l'approssimazione mnemonica sbaglia solo in 2 stime su 7, alla prima e ultima ora visto che la crescita è del 6.7% anzichè del 8.3%. La prima e ultima ora sono quelle che danno meno contributo alla variazione e quindi danno meno problemi in caso di errore di valutazione. Mentre sono le ore centrali, la terza e la quarta, che da sole fanno il 50% dell'intero fenomeno. Questa è appunto la caratteristica di un fenomeno ciclico, retto da una equazione trigonometrica: piccole variazioni iniziali e finali vicino ai minimi o massimi e grandi variazioni nella fase centrale e specularità tra la prima e la seconda metà del fenomeno. La regola è anche molto facile da ricordarsi perchè coinvolge in modo evocativo i primi numeri del sistema decimale: 1-2-3. La ripetizione dopo averne invertito il senso: 3-2-1 completa il periodo la cui somma è appunto 12. Il fenomeno è ben descritto se diviso in 6 parti, le ore di un quarto di giorno o i 30º di una ipotetica base 0-180º di una funzione trigonometrica. In effetti la funzione citata è caratterizzata dal valore 0.5 a 90º (3 suddivisioni) e tale da raddoppiare il valore che aveva a 60º (2 suddivisioni). Se imponiamo questi vincoli e andiamo a cercare tre numeri interi l, m, n che abbiamo queste caratteristiche otteniamo n=l+m cioè il terzo valore deve essere pari alla somma dei primi due, il totale è pari a 4n e il primo valore deve essere tale che l/4n = 0.067: con n=3 abbiamo di conseguenza m=2 e l=1. La regola menmonica svela che si interpreta un fenomeno ciclico molto bene se la suddisione è in 6 parti. La chiave sta nel valore del cos(60)=0.5 che è l'unico numero razionale nelle tabelle trigonometriche, riportabile cioè a una semplice frazione tra numeri interi! Dividendo l'arco di circonferenza in 6 parti uguali grandi quanto il raggio si ottiene un esagono che gode della proprietà di essere formato da 6 triangoli equilateri, dove le semibasi sono pari alla metà del raggio. Questa proprietà ben nota consente di facilitare le operazioni quando si utilizzano intervalli di 60º nei fenomeni ciclici. Nel caso della marea ai primi 60º gradi, cioè un terzo della durata del fenomeno, si è a metà della variazione tra la bassa e la quota della marea media. La suddivisione in 6 sulla ascisse e in 12 sulle ordinate ha anche il vantaggio di permettere di gestire i multipli di 2, 3 e 4. Questa stessa regola la possiamo applicare alla variazione ciclica di qualsiasi altro fenomeno come ad esempio la variazione della declinazione del Sole nei mesi da un solstizio al sucessivo e la conseguente durata del giorno. Abbiamo già pronta la divisione dell'anno in 12 mesi: nel semestre dopo il solstizio estivo, il Sole passa da +23º a -23º di declinazione e il tramonto alle nostre latitudini di 40º circa passa da + 90 minuti a -90 minuti rispetto alle 18 UTC (ora del tramonto all'equinozio). Possiamo prendere una sola metà del fenomeno: dall'equinozio di Settembre al solstizio di Dicembre e ragionare sulla semiampiezza del fenomeno. Nel periodo tra Settembre e Dicembre si passa da 0º a -23º (o -90 minuti) che sono i 6/6 della semiampiezza della variazione totale. Dopo il primo mese dall'equinozio di Autunno al 21 Ottobre si perde i 3/6 cioè circa 11.5º (o 45 minuti), a novembre altri 2/6 cioè altri 7.6º (altri 30 minuti) che portano la declinazione del sole a 19º sud (e il tramonto alle 16:45 UTC). Finalmente l'ultimo mese in Dicembre c'è una piccola variazione dei restanti 3.9º per totalizzare i 23º del solstizio (tramonto alle 16:30 UTC). Questo è quello che sta succedendo durante questi mesi. Notiamo che come per le maree un mese prima e un mese dopo l'equinozio, dove il Sole occupa la sua posizione media, si assiste alla variazione maggiore. Dopo queste considerazioni è utile cercare una regola più precisa anche per il primo o l'ultimo sesto di semiperiodo di variazione? Possiamo studiare numericamente il problema dal momento che conosciamo la funzione esatta che domina il fenomeno semplificato e che l'approssimazione può essere determinata attraverso le variazioni incrementali nel tempo cioè dalla derivata della funzione. Tornando alle maree una buona approssimazione si può ottenere calcolando la derivata dell'angolo metà e moltiplicata per la variazione angolare (che corrisponde a una integrazione numerica) come segue:
Per x=30º il sin(15) è un numero irrazionale che porta al valore di 0.0677 che è molto vicino al valore reale. Proseguendo con questo metodo si trovano i valori che si realizzerebbero con una approssimazione numerica del problema trigonometrico. Da questi si possono ottenere le terne dei numeri interi che possono approssimare meglio la funzione trigonometrica rispetto alla regola dei dodicesimi. Una terna migliore sarebbe 1-3-4 e i delta si dovrebbero calcolare in sedicesimi. In questo caso il primo sesto sommerebbe il 6.25% che è più vicino al valore corretto di 6.7% e continuerebbe ad accertare il 25% e il 50% per i successivi. Però il numero 16 è un po' più complicato da usare. Si potrebbe migliorare ancora con la terna 10-27-37 e dividendo in 148-esimi pero si complica ancora di più. Forse sarebbe meglio dividere in 144-esimi e porre la terna in 10-26-36 però anche in questo caso toccherebbe avere una calcolatrice in barca o sulla spiaggia e tutto questo per la prima o ultima ora dove i cambiamenti sono impercettibili. No, va bene la regola del 1-2-3-3-2-1 e sorprendentemente interpretiamo bene queste funzioni trigonometriche che sono trascendenti e danno luogo normalmente a valori irrazionali con dei numeri molto amichevoli. Durante la rivoluzione francese si era pensato di razionalizzare tutto e utilizzare la base dieci anche per le ore del giorno e i mesi dell'anno (ognuno di 30 giorni con 5 di recupero a fine anno). Anche l'ora veniva suddivisa in 100 minuti e i minuti in 100 secondi. Non c'erano più 4 settimane in un mese ma 3 decadi di 10 giorni...con un giorno di riposo a decade i giorni di lavoro nel mese risultavano aumentati. Alla fine si è tornati alla divisione in 12 dell'anno, in 24 ore della giornata e di 60 minuti per le ore e di 60 secondi per i minuti. Sarà per le 12 lunazioni in un anno, o che semplicemente il numero 12 consente di dividere per 2-3-4 e il 60 contiene anche il 5, il 6 ossia tutti i primi 6 numeri. Inoltre è divisibile per il 10, il 12, il 15, il 20 e il 30 per cui alla fine prevalse il sistema sessagesimale . O meglio tornò perchè fin dai babilonesi si era capito che quando si ha a che fare con Sole e Luna poter passare per qualcosa che abbia a che fare con l'angolo di 60º rende tutto più facile!

mercoledì 18 febbraio 2015

Un orologio cosmico: i satelliti di Giove

Nell'ultimo post abbiamo visto come la determinazione esatta dell'ora fosse necessaria per la determinazione della longitudine. Prevalse il metodo "meccanico" in cui si utilizzava un oggetto capace di avere dei periodi di oscillazioni costanti e indipendenti dalle varie condizioni caratteristiche della navigazione. Però in un periodo durato una cinquantina di anni convissero il metodo astronomico, dove si cercava nel cielo la lettura del tempo, con il cronometro che non era ancora stato ottimizzato come lo conosciamo oggi. Per il metodo astronomico c'erano diversi approcci: uno basato sulle distanze lunari, che abbiamo già visto nell'ultimo post, tra gli altri uno era stato proposto il secolo precedente da Galileo basato sulla osservazione dei satelliti di Giove. Galileo aveva notato il perfetto sincronismo delle prime tre lune: Io, Europa, Ganimede. La ricorrenza dei fenomeni che Galileo notava permetteva in teoria di determinare il tempo grazie alla possibilità di prevedere l'istante in cui un certo fenomeno come, occultazioni o transiti, si verificava e vice versa poter conoscere l'ora dall'osservazione del fenomeno notevole. Ad esempio, stasera, 18/02 alle UTC = 20h circa inizierà l'occultazione di Io. La figura che segue è tratta da Cart du Ciel e mostra quello che si vedrebbe con un telescopio di media grandezza (sono sufficienti una 50-ina di ingrandimenti).
Con un programma dedicato si può calcolare la posizione delle Lune nella loro orbita intorno a Giove in questo giorno come evidenziato dalla figura che segue.
Si vede come Io (rosso) sta passando dietro Giove dal punto di vista attuale della Terra, evidenziato dalle linee blu. Le altre lune sono dalla più vicina alla più lontana: Europa (verde) e Ganimede (magenta) a Ovest e Callisto a Est di Giove. Galileo pensò quindi a uno strumento che poteva permettere l'osservazione dei satelliti anche su una barca con rollio e beccheggio, il celatone. Lo strumento consiste in un elmetto con un telescopio saldato per permettere al marinaio di vedere i satelliti medicei, per evitare gli effetti del moto dell'imbarcazione il marinaio-astronomo si poneva disteso in una sorta di sedia a dondolo galleggiante in una tinozza piena d'acqua che permetteva di disaccoppiare il movimento della barca da quello dell'osservatore. Di fatto questa soluzione non aiutò mai davvero la navigazione ma l'idea era valida e venne utilizzata per determinare la longitudine in terraferma come fece l'astronomo Cassini. Il vantaggio di questo metodo è quello di non costringere all'uso del sestante da cui possono venire errori relativamente grandi. L'osservazione dell'inizio e fine di transito o occultazione è abbastanza oggettiva dal momento che si può notare il momento in cui il satellite risulta tangente al pianeta con un errore di alcuni minuti nella determinazione esatta. Non si rientra nell'errore di mezzo grado però consente una determinazione accettabile entro i 4-5 gradi di errore. Bisogna disporre di effemeridi dei fenomeni notevoli dei satelliti. Il programma di calcolo, basato su periodi costanti, consente di ottenere risultati validi in periodi di anni. Per esempio facendo girare il calcolo per tutto il mese di Marzo si possono prevedere i fenomeni che si possono osservare nel tempo come evidenziato nella figura sottostante.
Con gli stessi colori utilizzati prima si evidenzia il moto oscillatorio intorno a Giove (lo zero dell'asse y) espresso in milioni di km di distanza, della proiezione vista da Terra delle Lune nei giorni del mese di Febbraio (sull'asse x). Si uò notare che tra Io, Europa e Ganimede tornano le stesse posizioni reciproche per via della risonanza 1:2:4 dei loro periodi. Mentre Calisto presenta elongazioni più grandi ma passaggi in prossimità di Giove più diradati. Da un'ulteriore analisi possiamo ricavare i periodi di attesa per un osservatore da Terra dei fenomeni notevoli (e oggettivi) di passaggio davanti o dietro Giove. Da questa elaborazione si ottiene un interessante grafico.
In ascissa abbiamo di nuovo i giorni di Marzo mentre in ordinata abbiamo le ore che separano un fenomeno dal successivo. Possiamo vedere che la massima attesa sono poco più di 18 ore tra un transito e una occultazione di Io, ma i fenomeni legati alle Lune di Giove consentono di misurare le frazioni del giorno. Dalle 2 ore e mezza di tempo per l'attraversamento di Io durante un transito o alla sequenza Io - Europa - Ganimede in cui i fenomeni delle Lune si alternano di mezzora e tre ore. Infine quando Calisto attraversa il campo visuale di Giove, visto che non è in perfetta fase con gli altri satelliti cambia la sequenza delle osservazioni riducendo ulteriormente le attese. Insomma con una tabella di effemeridi delle Lune, un buon telescopio, Giove ben visibile e un po' di pazienza ci si può localizzare. Nella lista sottostante sono riportati i principali fenomeni del mese di Marzo.
Il difetto di questo metodo chiaramente è legato al fatto che è utilizzabile solo durante la notte e che Giove per buoni 3 mesi all'anno, quando è prossimo alla congiunzione col Sole, praticamente non si vede. Ora che Giove ha passato da poco l'opposizione è il periodo migliore, ben alto nella costellazione del Cancro e prossimo al Leone verso mezzanotte. Il fatto che le lune di Giove ci consentono di determinare il tempo guardando tanto lontano da noi darebbe una possibilità di oggettivazione del tempo. La ripetizione dei fenomeni celesti ha determinato il modo con cui contiamo il tempo: l'anno dipende dai tempi di rivoluzione intorno al Sole, il mese quasi va con quelli della Luna intorno alla Terra, il giorno va con la rotazione della Terra. Le lune di Giove consentirono a Galileo di affermare l'eppur si muove notando dei corpi celesti che non ruotavano intorno alla Terra, ritenuta il centro dell'Universo. Come conseguenza l'uomo ha perso la percezione della sua centralità. Le Lune hanno anche aiutato a comprendere più dettagli del sistema solare dal momento che il sistema Gioviano lo replica per così dire e sotto i nostri occhi di spettatori privilegiati. Hanno anche consentito di capire che la luce ha una sua velocità quando Romer osservò un ritardo nei tempi di ingresso e uscita dall'ombra di Giove (eclissi) quando la Terra si allontana da Giove muovendosi verso la congiunzione (Giove lontano) o, al contrario, un anticipo degli eventi di eclisse quando la Terra va verso l'opposizione (Giove vicino). Nel calcolo delle effemeridi delle Lune di Giove vanno quindi tenute in conto queste variazioni che arrivano a superare i 20 minuti di incremento tra i periodi di eclisse nella fase di quadratura verso l'opposizione o verso la congiunzione. Nella storia le lune di Giove ci hanno portato a alcuni successi nel'interpretazione dei fenomeni astronomici, ma ci hanno relegato al ruolo di spettatori di una meravigliosa giostra cosmica. Chissà che non ci possano di nuovo aiutare a trovare il bandolo della matassa, in questa epoca in cui la Fisica segna il passo dopo le prove che l'universo non è quel meccanismo semplice che credevamo. La teoria della relatività ristretta ci ha privato della percezione di un tempo oggettivo per via della dilatazione che il tempo subisce secondo il fattore di Lorentz quando la velocità dell'osservatore si approssima a quella della luce. Il conceto stesso di simultaneità di eventi è finito proprio con l'osservazione delle Lune di Giove, quando si è capito che quello che vediamo è la proiezione di quello che è successo una mezzora prima. La realtà che vediamo non avviene quindi in un tempo oggettivabile, l'ora universale non è una caratteristica oggettiva. Quello che succede vicino a Giove è diverso da quello che vediamo in un certo istante. Infatti se potessimo comunicare con qualcuno su Giove se l'eclisse di Io è già avvenuta o no, mentre lo vediamo in prossimità dell'occultazione, un osservatore gioviano potrebbe dirci che l'eclisse è già avvenuta...purtroppo anche il segnale del nostro osservatore tarda una mezzora ad arrivare e quando dovesse arrivare l'eclisse sarebbe davvero iniziata anche dal punto di vista della Terra. Nonostante le dilatazioni e le contrazioni dei periodi delle eclisse viste da Terra per via dell'allontanamento o avvicinamento a Giove, un dato di fatto è che da circa 600 milioni di km da noi si ripete uno spettacolo che è tale e quale da millenni e che potrà proseguire per millenni dopo di noi. ...o no? E se questo spettacolo ha senso solo se c'è un essere dotato di coscienza ad osservarlo? In fin dei conti:
l'arcobaleno non esiste se non c'è nessuno a guardarlo!
(vedi "Biocentrism" di Robert Lanza).

domenica 14 dicembre 2014

Longitudine e misura del tempo

Abbiamo visto che la maggiore difficoltà nella determinazione della posizione in mare è dovuta alla longitudine. Senza una buona misura dell'ora è impossibile fare una corretta determinazione della longitudine. A questo si aggiunge la difficoltà legata alla misura dell'angolo di altezza sull'orizzonte attraverso il sestante. Ma se ipotizziamo di essere capaci di una perfetta misura degli angoli, nulla serve se non conosciamo esattamente l'ora, in particolare quella di Greenwich. Ora con i cronometri a buon mercato che portiamo al polso non ci rendiamo conto della difficoltà che si sono state nel passato dare un corretto orario. Specialmente per lunghi viaggi in mare dove per effetto del rollio e del beccheggio, le variazioni di temperatura e l'umidità impedivano di utilizzare orologi a pendola che potevano invece essere utilizzati a Terra. Oggi è possibile determinare con sufficiente approssimazione la longitudine in mare aperto se osserviamo al mezzogiorno locale il Sole raggiungere la massima altezza e annotare l'ora di Greenwich. Se siamo in mezzo all'Atlantico e a Londra sono le 15, significa che siamo a 3 ore dal mezzogiorno sul meridiano principale, quindi a 45° longitudine ovest. Ma se anche l'ora è sconosciuta? Non riusciremmo in questo caso a sapere la longitudine ma solo l'ora locale... che non è di grande aiuto per orientarsi in mezzo al mare. Questo è quello che generalmente succedeva ai navigatori fino a metà del 1700. Di fatto ignoravano la longitudine in cui si trovavano se non attraverso la posizione stimata conoscendo velocità e rotta tenuta per tutto il tempo dall'ultimo rilevamento certo. In pratica ci si poteva facilmente sbagliare di centinaia di miglia nella direzione est-ovest cosa che, sotto costa di notte o con nebbia, era il più delle volte fatale. Questa situazione fu tollerata fino al 1714 quando la regina di Inghilterra istituì un premio di 20 mila sterline (più di 10 milioni di euro attuali) a chi risolveva il problema con una precisione di mezzo grado, cioè circa 30 miglia all'equatore. La motivazione fu dovuto all'ennesimo incidente sotto costa, quella inglese, che aveva fatto perdere 4 imbarcazioni militari con circa 2000 marinai e ufficiali a bordo, avvenuto nel 1707 come narra Dava Sobel nel suo libro Longitudine. Si innescò allora una gara tra astronomi e orologiai. I primi cercavano una soluzione oggettiva che venisse dal moto degli astri mentre i secondi si affidavano alla meccanica di precisione per riuscire a non far perdere o guadagnare secondi ai loro orologi, che al termine di viaggi di mesi potevano accumulare ore di errore. Non c'è da sorprendersi che la corretta misura di una grandezza spaziale come la longitudine potesse essere cercata attraverso la corretta misura del tempo, poichè la velocità di rotazione della Terra è costante: 1 ora corrisponde a 15° di rotazione, che all'equatore sono circa 1000 miglia! Gli astri anche si muovono visti da Terra con la stessa velocità ma rimanendo alle stesse distanze reciproche non aiutano a risolvere il problema. I pianeti si muovono tra gli astri ma sono troppo lenti e visibili solo la notte. Il candidato migliore è la Luna che si muove durante un giorno di circa 13 gradi nel cielo per via del suo periodo orbitale di 27.3 giorni. La Luna durante una notte o un giorno si muove tra gli astri abbastanza rapidamente da poter consentire ai navigatori di misurare con il sestante le distanze angolari da un riferimento come il Sole di giorno o stelle e pianeti di notte come evidenziato dalla figura che segue per la variazione della distanza angolare rispetto al valor medio nel giorno 26 Novembre tra le 12 e le 24.
Si vede la relazione lineare che c'è tra tempo e distanza angolare per astri distanti dalla Luna e possibilmente prossimi all'eclittica (linea blu e celeste si riferiscono al Sole e a alfa_Sagittario mentre la marrone si riferice a Marte). Se l'astro è vicino come per la linea viola (alfa_Aquila) o lontano dall'eclittica come per la linea verde (alfa_Cigno) la variazione è vicina a una parabola perchè la distanza angolare avrà un minimo alla stessa ascensione retta o la relazione lineare non avrà una pendenza ottimale vicino al mezzo grado per ora. Queste situazioni rendono più difficile l'uso della distanza lunare per ottenere il tempo. Nella figura seguente è evidenziato il rapporto tra l'angolo dello spostamento lunare e il delta dell'angolo dato da due rilevamenti successivi rispetto a un riferimento di different angolo sidereo (in ascissa) e altezza (in ordinate) rispetto alla Luna.
Da questo grafico si vede come il rapporto più vicino all'unità, cioè la migliore misura dello spostamento lunare è con un astro che sta nella stessa direzione in cui si muove la Luna (altezza prossima a zero), sull'eclittica, e che sta a circa 90º di distanza in angolo sidereo (o 6h di ascensione retta). Bisogna quindi tener in conto che la maggior precisione nel determinare l'angolo di cui la Luna si è spostata rispetto al centro della Terra, utilizzando una stella o un pianeta come riferimento, quindi attraverso una variazione di angolo sulla sfera celeste, funziona abbastanza bene se l'astro ha una declinazione prossima al'eclittica e si trova a circa 6 ore di distanza in Ascensione retta. Questa precisione si riduce drasticamente se l'ascensione retta si avvicina a quella della Luna. Vediamo il caso del passato 12 Dicembre dove la Luna era in allineamento con Giove nella costellazione del Leone. Dalle ore UTC = 22h 15m, alle ore UTC = 06h 20m, la Luna si è spostata tra Giove e Regolo come nella figura seguente.
Se viene preso a riferimento Giove la variazione dell'angolo non permetterà determinare con precisione il tempo mentre il riferimento di Regolo sarà più significativo come da figura seguente dove sono visualizzati gli angoli relativi.
Se la posizione della Luna fosse perfettamente nota e tabulata per ogni giorno dell'anno, per sapere l'ora locale si potrebbe utilizzare la distanza lunare per ottenere l'ora locale rispetto a quella di Greenwich per una osservazione fatta in un'altra parte del mondo e determinare quindi il punto nave con le tecniche che abbiamo visto nei precedenti post. Questo era il tentativo che facevano gli astronomi dell'osservatorio di Londra, ma la Luna non si muove poi tanto regolarmente nello spazio intorno alla Terra. La sua orbita varia in tutti i suoi parametri per effetto delle perturbazioni della reale distribuzione della massa della Terra che non è una sfera omogenea. Anche i pianeti più vicini influenzano leggermente la Luna, e il risultato finale è una periodicità di circa 18 anni. Per conoscere la posizione della Luna relativa alle stelle bisogna fare lunghe osservazioni ma questo non fermò gli astronomi. Per decenni convissero il sistema delle distanza lunari e l'adozione del cronometro ad uso navale per la determinazione del punto nave. Ma quest'ultimo, con il perfezionamento del cronometro e la riduzione del costo una volta che venne prodotto su scala industriale, divenne uno strumento irrinunciabile. Il metodo delle distanze lunari ha un'ulteriore problema dovuto al fatto che la Luna quando è troppo vicina al Sole non è praticamente osservabile e questo avviene circa 6 giorni al mese. Poi ci sono le difficoltà di determinare l'angolo relativo con le correzioni che devono essere prese in considerazione per la Luna per via del grande effetto della parallasse e rifrazione. Ma nonostante queste problematiche la determinazione degli astronomi nel tabulare con precisione il moto della Luna e gli astri fu poi la causa per cui una grande quantità di osservazioni riferite a Greenwich fu disponibile. Questi dati vennero usati a lungo da navigatori di tutto il mondo determinando di fatto che il riferimento del meridiano principale fosse quello di Greenwich. In conclusione la soluzione del problema della determinazione della longitudine venne da un orologiaio che iniziò la sua attività professionale come falegname e poco a poco divenne un esperto a minimizzare gli attriti dei suoi orologi fino al punto di saper creare i primi cronometri ad uso navale. La chiave fu anche l'uso di metalli di diversa natura per compensare le dilatazioni e contrazioni a cui le parti mobili sono sottoposte per effetto delle variazioni di temperatura. Il successo però non gli fu riconosciuto completamente e occorsero comunque molti anni prima che si imponesse la soluzione "meccanica". Furono i capitani a preferirla per via dell'affidabilità della misura, in tutte le condizioni atmosferiche e senza dover essere astronomi di professione. Da Terra e con molto tempo a disposizione il metodo delle distanze lunari consente comunque di determinare con buona precisione l'ora e quindi la posizione nella direzione est-ovest, fu questo metodo che consentì a Vespucci di dedurre che il continente recentemente scoperto da Colombo non apparteneva all'Eurasia e per questo meritò che il suo nome fosse esteso a quello dell'intero continente. In definitiva va fatta molta attenzione nella determinazione della longitudine con le distanze lunari, meglio utilizzare il cronometro di John Harrison per il tempo... ma alla fine di questa analisi sull'orientamento con gli astri in mare, solo un GPS o un sistema di posizionamento analogo può garantire la soluzione più efficace alla determinazione precisa del punto nave in altura.

mercoledì 19 novembre 2014

Orientarsi con le stelle: un caso pratico

Abbiamo visto negli ultimi post le tecniche e i motivi per cui funziona la navigazione astronomica. Lo studio è stato eseguito nel caso del naufrago alla deriva del film "All is lost" immaginando che dopo lungo peregrinare arriva a un atollo dell'oceano indiano. Lo studio dell'applicazione delle tecniche di navigazione astronomica sono però teorici. Vediamo cosa succede applicando le tecniche che abbiamo visto in un caso pratico. Il vantaggio in questo caso è che si conosce perfettamente la latitudine e longitudine del posto di osservazione. Il primo caso di studio è la determinazione della latitudine attraverso la determinazione dell'altezza del Sole nel suo passaggio al meridiano. Il giorno 26 di Ottobre dopo aver preso l'altezza del Sole con il sestante più volte durante il suo transito per il meridiano, si determina nel suo punto più alto l'altezza strumentale del bordo inferiore pari a a_i = 37º 6'. Nel fare lo zero prima della misura si è valutato un errore fisso de 36' per cui l'altezza osservata risulta essere a_o = 36º 30'. Il punto da cui si osserva l'orizzonte è poco più di 70 metri sul livello del mare per cui la correzione per depressione dell'orizzonte e di circa D_p = -15', mentre la correzione dovuta al semidiametro, la rifrazione e la parallasse secondo le tavole è c = +14.8'. L'altezza vera risulta dopo le correzioni essere: a_v = 36º 29.2'. Consultando l'almanacco, la declinazione per il passaggio al meridiano per la longitudine locale è pari a d = -12º 30.1'. Per cui la differenza dell'altezza e della declinazione (con segno) porta a a - d = 48º 59.3'. Il complementare di questo angolo ci permette di conoscere la latitudine che risulta pari a l = 41º 0.7'. Il metodo è stato abbastanza preciso ma ha portato all'errore di circa 12' verso sud. Gli errori possibili sono relativi soprattutto alla misura dell'altezza e alla giusta determinazione delle correzioni. In particolare la correzione per depressione in questo caso in cui la misura dell'altezza del punto di vista sull'orizzonte non è nota con precisione. Ricordando che ogni minuto di arco di latitudine corriponde a una miglia nautica risulta in definitiva un errore di circa 12 miglia. Se la costa fosse prossima e verso nord in caso di scarsa visibilità questo errore potrebbe essere grave ma in generale è nel limite dell'accettabilità. Vediamo un altro caso: si è in mare verso l'ora del tramonto e si vuole determinare il punto nave in base all'osservazione del Sole e della Luna con il metodo dell'intersezione delle rette di altura. Queste ultime possono essere determinate in due istanti differenti e la retta d'altura della prima determinazione può essere traslata nella nuova posizione stimata e l'intersezione delle rette continua ad essere valida in un istante differito. Prima del tramonto alle ore UTC = 16h 42m viene presa l'altezza del bordi inferiore del Sole sull'orizzonte risultando a_i = 2º 36' con lo stesso errore fisso di 36' si ottiene l'altezza osservata a_o = 2º 0'. Considerando la depressione dell'orizzonte a circa 2 metri sul livello del mare si devono sottrarre ulteriori 2.5'. Inoltre, per via della forte rifrazione in prossimità dell'orizzonte ci sono da sottrarre ulteriori 8.9' per cui si ottiene l'altezza vera a_v = 1º 48.6'. La posizione stimata è latitudine l_s = 41º 00' N e longitudine L_s = 001º 30' E per cui il calcolo dell'altezza stimata è: a_s = 1º 31.9' e l'azimut stimato è z_s = 250º 54.7'. Infine il determinante, dato dalla differenza tra altezza vera e stimata, risulta delta_a = 16.7. Dopo il tramonto, durante il crepuscolo, alle ore UTC = 17h 19m si osserva la Luna. L'osservazione va fatta quando l'orizzonte è ancora ben visibile come si vede dalla foto di seguito.
L'altezza del bordo inferiore della Luna osservata tenendo in conto l'errore strumentale è a_o = 26º 36'. Dalle tabelle di correzione per rifrazione della Luna e la depressione dell'orizzonte dall'almanacco nautico risulta l'altezza vera a_v = 26º 42.5'. L'altezza deve essere misurata con la massima precisione e per questo va usata anche la lettura del nonio sul sestante per valutare bene i decimali di grado come mostrato sulla foto di seguito.
Anche se la seconda osservazione è stata fatta circa 1 ora dopo la prima possiamo considerare lo stesso punto stimato per via della rotta circolare seguita. Nella posizione stimata il calcolo fornisce un'altezza stimata di a_s = 26º 44.5' per cui il determinante delta_a = -2.0 e l'azimut stimato è z_s = 205º 28.5'. A questo punto si possono tracciare le rette di altura e trovare l'intersezione. Dalla figura seguente si ha la soluzione grafica.
La posizione corretta risulta quindi essere latitudine l_c = 41º 13' N e longitudine L_c = 001º 02' E. Rispetto alla posizione vera la latitudine è praticamente coincidente con la vera mentre la longitudine è sbagliata di circa 42' verso ovest. L'errore totale è di circa 31.6 miglia tra il punto vero e quello corretto come evidenziato dalla immagine di seguito.
E' chiaro che un errore di questa entità porterebbe a pericoli sotto costa, come in questo caso, però lontanto dalla costa è sufficientemente accettabile. Bisogna sottolineare l'importanza di misure precise, nonostante le difficiltà che si possono essere su una barca che beccheggia o con la scarsa nitidezza dell'orizzonte. Bisogna scegliere astri ben evidenti e abbastanza alti dall'orizzonte per ridurre l'effetto delle correzioni, gli astri devono formare un angolo tra loro di azimut vicino ai 90º. Nella prova pratica ci si è dovuto accontentare degli astri più evidenti e delle poszioni relative piuttosto vicine che avevano. L'altezza del Sole è nella zona da evitare per via della grande rifrazione che porta a vedere ancora l'ultimo lembo di sole nonostante sia già 34' sotto l'orizzonte. Lo strumento di misura utilizzato non è professionale e si è visto come pochi minuti di errore di misura determinano molte miglia di errore. Infine è da notare che la latitudine è una misura che si riesce a fare con buona precisione, è la longitudine che è davvero difficile. Quest'ultima dipende direttamente dalla corretta valutazione del tempo. Un errore di 3 minuti di cronometro potrebbe giustificare l'errore di 30 minuti di arco dell'altezza del Sole e quindi 30 miglia di errore. Un cronometro ben fasato con Greenwich è ancora più importante di un buon sestante e sebbene diamo per scontato avere una buona misura del tempo non è stato affatto semplice conseguirla. Nella storia della navigazione proprio una ottima misura del tempo ha consentito di poter misurare con precisione la longitudine.

domenica 26 ottobre 2014

Orientarsi con le stelle: perchè funziona?

Abbiamo visto diversi casi in cui si può determinare la situazione geografica attraverso l'osservazione degli astri. Basta avere un cronometro con il tempo universale UTC, un sestante per sapere l'angolo di altezza dell'astro sull'orizzonte e l'almanacco nautico e dai casi più semplici ai più complessi è stato possibile conoscere latitudine o longitudine o entrambi. Per la latitudine il compito non è stato difficile, la soluzione più semplice è attraverso il sole nel passaggio al meridiano: con la sola accortezza di fare più misure nell'intorno del mezzogiorno locale o, quando, utilizzando una bussola il sole è posizionato poco prima del transito per il sud geografico e poco dopo. La conoscenza della declinazione del sole nell'epoca dell'anno riportata nell'almanacco è sufficiente per conoscere la latitudine. Si può usare anche un astro che transita nella notte per il meridiano, conoscendo la declinazione dell'astro: variabile se è un pianeta o la luna o fissa se è una stella. Il problema in questo caso è che la determinazione va fatta durante il crepuscolo nautico in cui l'orizzonte è ancora visibile, non dopo quando le stelle spiccano di più nel cielo ma non si vede più l'orizzonte. Lo stesso problema c'è per la stella polare, che essendo una stella non di primaria grandezza è difficilmente visibile nel crepuscolo. Ci darebbe quasi direttamente la latitudine con la sola lettura dell'angolo sull'orizzonte, ma nel caso pratico è di difficile utilizzo per misure precise. Per la longitudine abbiamo visto che ci sono notevoli difficoltà e imprecisioni. L'ora dell'alba o del tramonto di sole e luna possono permetterci una misura abbastanza precisa, come anche il passaggio al meridiano, sempre con una lettura del cronometro della massima precisione. Il modo più efficace per avere la determinazione di latitudine e longitudine con buona precisione è attraverso il metodo delle intersezioni delle rette di altura Marq. Bastano 2 astri che formino un angolo intorno dai 45 gradi in su di azimut tra loro e la misura delle loro altezza può permetterci la correzione della stima del punto nave. Perchè funziona? Il concetto è legato al fatto che il luogo dei punti sul pianeta che vedono il primo astro con lo stesso angolo di altezza nello stesso istante sono su una circonferenza che giace sulla superficie terrestre e che può essere calcolata una volta note la declinazione e l'angolo orario rispetto a Greenwich dell'astro. L'equazione che consente questa determinazione si ottiene esplicitando per l'angolo al polo h l'equazione della trasformata di Eulero ottenendo:
Anche il secondo astro è visto da un luogo di punti che formano una circonferenza sulla Terra che ha il suo centro nella direzione di dove l'astro vede la Terra sotto di sè e vice versa. Le due circonferenze si intersecano in due punti o sono tangenti nei casi limite. Uno dei due punti è la nostra posizione sulla Terra.
Questo stesso metodo è utilizzato nel GPS per risalire alla posizione di un trasmettitore che è visto da due satelliti in posizione note. Nel GPS è utilizzato un terzo satellite per discriminare anche l'altezza dal suolo e, nella pratica, un quarto per risolvere l'incertezza sulla simultaneità dei segnali. Nella figura è rappresentato il caso che ho trattato nell'ultimo post, quello della Luna e Giove nella posizione vera, risultato finale dell'analisi del punto nave. Il punto più in basso è appunto quello caratterizzato dalla latitudine l_v = 11º 10' N L_v = 72º 00' E al largo dell'atollo di Peremul. Vediamo ora le circonferenze intersezione nel caso della situazioni stimata che portava a delle altezze stimate che differivano, anche se di poco, dalle altezza vere, quelle misurate con il sestante. Le circonferenze sono leggermente sfasate rispetto a quelle vere, intersecandosi nel punto nave stimato.
Il determinante dato dal delta delle altezze e dall'azimut calcolato consente di correggere la stima e tracciare le rette di altura Marq e dall'intersezione fra queste permettono di ottenere la posizione corretta. Le circonferenze sfasate ci permettono di capire come funziona il metodo delle interseizoni di Marq. Se l'altezza vera è maggiore dell'altezza stimata la circonferenza d'altura passa per punti nella direzione verso cui viene visto l'astro. Nel nostro caso la Luna è vista sotto l'azimut di 280º, localmente la circonferenza può essere confusa con un tratto rettilineo e questa è proprio la retta di altura. Quest'ultima la spostiamo dal punto stimato di tanti minuti di grado quanti differiscono la stima e la lettura dell'altezza. Per il secondo astro, Giove, l'altezza vera è inferiore alla stimata, questo corrisponde a una circonferenza di altura spostata in direzione opposta all'azimut sotto cui viene visto Giove. Anche qui il determinante consente di spostarsi lungo l'azimut e tracciare la retta che linearizza la circonferenza e permette di individuare l'intersezione con la prima retta d'altura. L'intersezione fornisce la posizione vera. Il metodo è abbastanza laborioso: necessita di una perfetta misura con il sestante, l'osservazione pressochè contemporanea di due astri in corrispondenza della quale leggere con la massima precisione il cronometro, infine la soluzione passa per un calcolo trigonometrico non semplice senza calcolatrici e una soluzione grafica. Tutto questo è molto difficile eseguirlo in navigazione senza errori. La determinazione della posizione è molto sensibile agli errori commessi nella sequenza delle operazioni precedentemente descritte. Vediamo in un caso pratico di quanto ci possiamo allontanare dalla posizione vera. Con un buon sestante un errore di circa 10 minuti di grado è ammissibile pensando alla difficoltà della misura da fare mentre l'imbarcazione beccheggia, l'orizzonte si fa via via più evanescente e l'astro non è così luminoso da evidenziarsi nettamente nel gioco di specchi e filtri del sestante. Si raccomanda comunque di fare più misure successive o simultanee da parte di più persone. L'ora può essere determinata con molta precisione ma tra la prima e la seconda osservazione si può commettere un errore di un minuto sul secondo astro. Se l'errore viene commesso solo per l'osservazione di Giove, le conseguenze sono abbastanza contenute. Infatti l'errore di un minuto nell'osservazione ha un impatto nella determinazione dell'angolo al polo che varia di circa 2 gradi. Ma il deteminante non cambia sostanzialmente. Quello che porta le maggiori conseguenze è l'angolo misurato: con una riduzione di 10' del suo valore, il delta_a si riduce anch'esso di 10', mentre un eccesso di 10' porta a una sovrastima del delta_a di 10'. Riportato sulla carta, le intersezioni delle rette di altura, essendo molto oblique tra loro risentono dell'errore amplificandolo. Nel caso di difetto di misura l'errore sulla situazione vera è di circa 23' a Nord-Est. Mentre l'eccesso porta a un errore di 27' a Sud-Ovest. Se viene commesso anche un errore di 10' sull'angolo di altezza della Luna, la combinazione dei possibili errori porta a un massimo di 40' a Nord della situazione vera in caso di eccesso per l'angolo della Luna e difetto per l'angolo di Giove e 60' a Sud della situazione vera in caso di difetto per l'angolo della Luna e eccesso per l'angolo di Giove. Sotto queste condizioni di errore non solo si poteva sbagliare il nome dell'atollo ma anche arrivare a dire che eravamo già a terra o al contrario ancora in mezzo all'oceano... per fortuna del nostro naufrago non era così! Nella pratica bisogna sempre tener presente che la tollerenza sulle misure in particolare degli angoli fa sì che si determini un parallelogrammo entro il quale ci si situa con un'approssimazione in miglia che va con l'errore in minuti dell'angolo di altezza, eventualmente amplificato tanto più quanto più l'azimut dei due astri si allontana dai 90º di intersezione. Si può eventualmente aggiungere un terzo astro osservato per poter cercare di eliminare gli errori sistematici. Con questa tecnica si genera un triangolo tra le rette di altura e la situazione vera viene ad essere il baricentro di questo triangolo. In conclusione le stelle sono davvero come dei fari nello spazio, ma come per quelli sulla costa, bisogna saperle riconoscere e interpretare per ottenere una posizione sufficientemente corretta...anche se un'occhiatina al GPS, nell'era digitale, toglie sempre qualsiasi dubbio!