L'arrivo dei venti: il punto di vista Euleriano

Nel post precedente abbiamo visto come si presenta il campo di velocità del vento in una zona caratterizzata dalla presenza di due vortici a spirale controrotanti e determinato la direzione e verso dei venti attesi nelle zone limitrofe il centro dei vortici. In particolare siamo interessati a conoscere il vento che si crea in un certo punto del campo per via di una perturbazione ciclonica cioè un vortice antiorario individuato da un minimo di pressione. Possiamo sempre riferire il campo a un punto di interesse P con cui far coincidere l'origine, in modo che (xP,yP) = (0,0) rispetto al quale i centri ciclonico (xL,yL) e anticiclonico (xH,yH) generino il campo risultante. Sostituendo al generico (x,y) del campo le coordinate dell'origine (0,0), le equazioni si semplificano e consentono di facilitare lo studio della velocità e pressione nell'origine. L'equazione del gradiente del campo in coordinate cartesiane nell'origine dà luogo alle seguenti componenti di velocità orizzontale e verticale nel punto P=O:

In questo modo possiamo fare un'analisi "Euleriana" del flusso, cioè basata sulla osservazione in un punto fisso mentre il campo evolve. Se infatti facciamo muovere i centri del binomio ciclone - anticiclone si può vederne gli effetti nel punto di osservazione P che è appunto l'origine del sistema cartesiano. Sappiamo che le perturbazioni cicloniche si formano nell'oceano Atlantico e si spostano da ovest verso est attivando zone ventose nel Mediterraneo, caratterizzate da venti del quadrante sud (essenzialmente sud-est) se le perturbazioni sono in arrivo e venti dal quadrante nord (essenzialmente nord-ovest) se le perturbazioni appena passate si allontanano. Il primo caso prelude al brutto tempo, mentre il secondo corrisponde alla instaurazione di una zona di alta pressione e quindi al bel tempo. Queste conoscenze sono molto utili per la navigazione perchè l'arrivo di una perturbazione ciclonica è generalmente accompagnata da pioggia, mare mosso e, per via delle basse pressioni, da fenomeni di marea più rilevanti. In più durante la navigazione in mare aperto o in oceano è molto utile capire da che parte del centro di perturbazione si è e determinare come manovrare per evitare di essere investiti dall'arrivo del centro di bassa pressione, soprattutto alle latitudine inter-tropicali dove la perturbazione può essere così intensa da essere un tornado. Studiamo dapprima l'effetto che la posizione reciproca della coppia ciclone-anticlone ha sulla direzione del vento. Lo studio è basato sull'analisi degli effetti di uno spostamento imposto matematicamente senza tenere conto della mutua influenza che strutture cicloniche e anticicloniche scambiano tra loro e che invece sono correttamente interpretati dai codici di simulazione numerica delle previsione del tempo. Definiamo la posizione dei centri dei vortici controrotanti come equidistanti dall'origine: a ovest l'anticiclone e a est il ciclone e vediamo cosa accade alla direzione del vento al ruotare intorno all'origne fino a scambiare la posizione tra ciclone e anti-ciclone. Dalla seguente figura si nota come il vento passa da una direzione nord-ovest quando la perturbazione è a est dell'origine (cioè in allontanamento) a una sud-est quando è a ovest dell'origine.

Questa tecnica è valida anche per lo studio della distribuzione dei venti nel caso di un tornado nella zona inter-tropicale. Nell'emisfero Nord l'oceano Atlantico può dar luogo a tornado che si formano per via delle alte temperature delle acque oceaniche a quelle latitudini e all'innesco di una rotazione dellemasse d'aria in direzione antioraria. La traiettoria che seguono i tornado è di spostarsi in prossimità della costa degli Stati Uniti facendo un percorso da sud-est a nord-ovest. Vediamo con che caratteristiche si presentano i venti in caso di avvicinamento di un tornado e un su allontanamento in direzione sud-ovest. Nella figura seguente il ciclone è rappresentato dal punto blu e l'anticiclone dal punto rosso.

Quando il tornado si avvicina viene segnalato dall'aumento dell'intensità del vento, mentre quando il tornado viene lasciato a sud e successivamente a sud ovest, l'intesità si riduce progressivamente come evidenziato dall'evoluzione nel tempo mostrata nella seguente figura.

Nella figura seguente è rappresentata la direzione nel vento.

Si vede come il vento ruota in senso orario dalla direzione nord-ovest a nord-est. La pressione invece si riduce fino a raggiungere i valori minimi in corrispondenza con la prossimità del centro del tornado per poi aumentare di nuovo all'allontanrsi come evidenziat dalla figura seguente.

Si può generalizzare attraverso questo studio il metodo per intendere in caso do navigazione in oceano se si sta avvicinando un tornado: diminuzione della pressione e aumento dell'intensità del vento, inoltre la rotazione del vento in senso orario sono indice dell'approssimarsi della perturbazione. In questo caso bisogna capire se si sta nella nel semipiano alla destra del centro del tornado o a sinistra. Il primo è più pericoloso dal momento che la velocità di trslazione del tornado si somma alla velocità del vento per via del vortice mentre nel semipiano sinistro la velocità di traslazione si sottrae e quindi la velocità risultante è minore. Inoltre i venti nel semipiano destro (a nord) tendono a trascinare l'imbarcazione avanti al centro del tornado. L'obiettivo è quindi quello di manovrare in modo da allontanarsi dal centro. Nel caso del semipiano pericoloso a nord del centro, bisognerà mettere la prua prendendo il mare nel lato destro. Mentre nel semipiano sud, bisogna far entrare il vento per la poppa dal lato di babordo.

Perturbazioni e direzione del vento

Abbiamo visto nel post precedente che con un metodo abbastanza semplice come quello del campo potenziale creato da una coppia di vortici a spirale si può studiare efficacemente il campo di velocità che si crea in una certa zona per effetto della prossimità di una perturbazione. Il metodo è basato sul campo di velocità che si ottiene attraverso il gradiente di una funzione potenziale a Laplaciano nullo. Le funzioni base che rappresentano una perturbazione sono un pozzo a cui si somma un vortice antiorario. Per la conservazione della massa e della di vorticità si aggiunge un vortice orario a cui si somma una sorgente. Queste soluzioni nel campo scelto sono coerenti alle leggi della fluidodinamica rappresentate dalle equazioni di Navier Stokes nella loro versione semplificata dovuta alle ipotesi di bidimensionalità del campo, stazionarietà, incompressibilità e non-viscosità. Nonostante la forte semplificazione questa semplice configurazione di coppia di vortici contro-rotanti, ben rappresenta il campo di velocità che si viene a creare in natura al formarsi di una perturbazione. L'equazione del gradiente del campo in coordinate cartesiane per una perturbazione di tipo ciclonico centrato nel punto di coordinate (xL,yL) dà luogo alle seguenti componenti di velocità orizzontale e verticale:

Si può sovrapporre al campo generato dal ciclone uno generato da un anticiclone centrato in un'altra posizione (xH,yH). Calcolando nei punti del piano coordinato la somme dei gradienti così ottenuti si risale al campo di velocità complessivo come somma dei singoli contributi. Rappresentando vettorialmente il campo si ottiene il campo di velocità, di seguito un caso esempio.

Si può notare il vortice antiorario che corrisponde al ciclone centrato a circa 500 miglia a est del punto (0,0). Ad esso si contrappone un vortice controrotante più a ovest che per definizione ha pari vorticità ma segno opposto. Si è definita un'area circolare il cui raggio determina la distanza del centro ciclonico e anti-ciclonico del punto di massima velocità tangenziale del campo irrotazionale. Come commentato nel post precedente all'interno del ciclone e anti-ciclone il campo di velocità segue una legge lineare per evitare valori infiniti nella singolarità al centro delle strutture vorticose. Nella figura che segue è rappresentato il campo di velocità in modulo.

Si può anche notare che all'interno del ciclone nel semicerchio verso l'anticiclone, la velocità dovuta a quest'ultimo si somma e determina un settore di velocità relativamente più alte rispetto al semipiano lontano dall'anti-ciclone dove le velocità si sottraggono vettorialmente. L'angolo del vettore velocità è caratterizzato dal provenire del vento dal quadrante nord a ovest del centro ciclonico. Il vento di maestrale è presente sia a nord che a sud dei centri vorticosi come evidenziato dal campo illustrato di seguito.

In particolare nell'anti-ciclone la velocità decresce fino a valori nulli mentre nel ciclone cresce fino ad una certo valore che è legato alla minima pressione. Dalle equazioni di Bernoulli risulta infatti la pressione tanto più bassa quanto più alta è la velocità e viceversa, l'alta pressione è collegata a velocità basse. Come succede in natura, in questo modo il picco di alta pressione al centro dell'anti-ciclone coincide con una zona a velocità quasi nulla come evidenziato dal campo di pressione nella figura seguente.

Sono infatti famose le zone di calma piatte in corrispondenza delle aree caratterizzate da alte pressioni. Al contrario, al centro del ciclone si verifica il valore minimo di pressione ed anche la zona a maggior velocità. Vediamo ora quali sono i casi che si possono verificare alle nostre latitudini, ricordando che le perturbazioni Atlantiche si spostano da Ovest verso Est. Abbiamo visto dai grafici di sopra, se la perturbazione si allontana verso est i venti dominanti sono in direzione nord, normalmente dal nord-ovest. Mentre analizzando il caso di una perturbazione in arrivo da ovest, si può vedere dal campo di velocità che il vento da attendersi è un vento del quadrante sud, normalmente dal sud-est come evidenziato dal campo di velocità illustrato di seguito.

Rimanendo al caso dell'arrivo della perturbazione se questa viene dal sud-ovest, il vento che la annuncia è un vento di scirocco del sud-est come evidenziato dal campo di velocità seguente.

Mentre se la perturbazione viene dal nord-ovest il vento che lo annuncia è un libeccio del sud-sud-ovest.

Nello studio dei casi che si possono verificare possiamo sintetizzare citando la legge di "Buys-Ballot" per cui disponendosi faccia al vento e sollevando le braccia la bassa pressione risulta essere alla destra leggermente più indietro rispetto alla direzione indicata dal braccio destro. Si conferma quindi che il caso del vento del nord ovest, ossia il mistrale, è compatibile con l'arrivo dell'anticiclone dopo che la perturbazione è passata e si allontana a est.

Venti nel Mediterraneo Occidentale

L'arrivo di una perturbazione è normalmente preceduto da venti che ne annunciano la distanza e la direzione di provenienza. E' noto ai marinai e ai contadini che un vento proveniente da una certa direzione porterà tempesta o, al contrario, bel tempo a seconda della località. In effetti nell'emisfero Nord, alle nostre latitudini, le zone caratterizzate da basse pressioni si spostano generalmente da ovest verso est e presentano sempre una circolazione in verso antiorario. Questo tipo di formazioni vengono definite cicloni, si formano sull'Atlantico per via dell'incontro di fronti freddi della zona polare con i fronti caldi più meridionali. La dinamica della formazione dei fronti è materia della meteorologia a cui ci riferiremo in post futuri. Ai cicloni vengono associate condizioni di mal tempo, ad essi si contrappongono gli anti-cicloni che, al contrario, sono caratterizzati da alte pressioni e da situazioni di bel tempo. In entrambi i casi si determinano strutture vorticose in cui le masse di aria ruotano intorno a un centro con un raggio di centinaia di km. La circolazione di aria in zone anti-ciclonica avviene in senso orario nell'emisfero Nord. Nel presente post, voglio presentare un metodo semplificato per spiegare la ragione dell'instaurarsi di alcune condizioni di vento a seconda della distribuzione delle zone cicloniche a anticicloniche. La materia che studia l'evoluzione delle perturbazioni e le loro traiettorie sulla superficie del pianeta è basata sulla fluidodinamica in un caso semplificato in cui il campo di moto è essenzialmente bidimensionale (lo spessore dell'atmosfera in cui si producono i fenomeni meteorologici è di circa 10 km rispetto a strutture vorticose di diametro dai 500 ai 2000 km e oltre) e in campo incompressibile per via delle velocità generalmente in campo subsonico. Le equazioni di Navier-Stokes permettono di studiare tutti i tipi di flussi nello spazio e variabili nel tempo, ma sono molto complesse. Si conoscono solo alcune soluzioni esatte in casi particolari, normalmente possono solo essere risolte numericamente e le soluzioni interpretate con l'uso del computer. Se le dimensioni si riducono a due e si considera flussi stazionari le equazioni si semplificano, se inoltre si considera l'ipotesi di incomprimibilità i fluidi non viscosi ammettono soluzioni integrali come il potenziale del campo di velocità e il suo duale funzione di corrente. Le componenti del vettore velocità risultano dal calcolo del gradiente del potenziale come segue:

L'equazioni di continuità che prevede divergenza nulla, che corrisponde alla conservazione della massa, è così identicamente verificata:

Le funzioni che presentano Laplaciano nullo sono quindi soluzioni valide del problema della fluidodinamica semplificata. In questo ambito si possono individuare soluzioni singolari che verificano le equazioni del campo in un dato dominio del piano e la somma di più soluzioni singolari sono ancora soluzioni così come avviene nei fenomeni elettromagnetici caratterizzati dalle equazioni di Maxwell per cui spesso si parla di analogia elettromagnetica per la fluidodinamica bidimensionale, incompressibile e inviscida. Soluzioni base delle equazioni del campo sono sorgenti e pozzi (equivalgono al campo creato da cariche positive o negative rispettivamente) che vengono rappresentate in coordinate polari dalla equazione seguente dove il parametro m è proporzionale al flusso di massa:

La velocità radiale segue una legge iperbolica mentre la tangenziale è nulla. Mentre soluzioni corrispondenti al campo creato da un filo percorso da corrente corrispondono a vortici, caratterizzati dalle seguenti equazioni, dove il parametro Gamma è proporzionale alla vorticità:

In questo caso la velocità radiale è nulla mentre la tangenziale segue una legge iperbolica. Se vogliamo quindi rappresentare un'area di bassa pressione la possiamo rappresentare con un vortice antiorario sovrapposto a un pozzo determinando un vortice a spirale la cui equazione è la somma delle due equazioni rappresentate di sopra, quindi le componenti radiale e tangenziale sono rispettivamente quella del pozzo e quelle del vortice. L'angolo del vettore velocità in questo caso punta verso l'interno del centro della perturbazione con un angolo pari a:

L'imposizione di un dato angolo, ad esempio circa 20º, come si nota in natura, determina la relazione entro il flusso di massa e la vorticità. Al contrario una sorgente con un vortice orario possono corrispondere a un'area di alta pressione. Il campo che si viene a determinare tra i due centri può indicare il campo di velocità caratteristico di una coppia di vortici a spirale controrotanti. Quindi se conosciamo le coordinate dei centri delle perturbazioni e la loro grandezza possiamo determinare il vettore velocità corrispondente a qualsiasi punto del campo. Per meglio rappresentare condizioni reali, all'interno dell'area determinata dal raggio della perturbazione e dell'area di alta pressione, si impone una legge lineare per evitare di raggiungere velocità infinite dovute all'andamento iberbolico della soluzione singolare. In queste zone del campo quindi si perde la condizione di irrotazionalità. L'intensità della perturbazione può essere definita attraverso la minima pressione che la caratterizza: quanto minore la pressione, maggiore la vorticità e quindi le velocità in gioco. La pressione di riferimento è come noto 1013 HPa, per cui valori inferiori a questo corrispondereanno a basse pressioni e quindi a perturbazioni cicloniche. Dall'equazione di Bernoulli:

si ottiene il coefficiente di pressione da cui si ottiene la dipendenza da questa delle velocità secondo la seguente relazione:

Questo approccio semplificato consente di studiare qualitativamente quali sono i venti da attendere in una data zona a seconda della disposizione spaziale della coppia ciclone / anticiclone sull'Atlantico e il Mediterraneo. Ad esempio nella zona della costa Daurada in Catalogna quando la perturbazione è appena transitata da ovest verso est e si allontana verso l'Italia nord occidentale mentre si avvicina un'area anticiclonica dal mar Cantabrico la direzione del vento che si verifica può essere visualizzata dal campo di velocità illustrata nella seguente figura:

Si vede come il vento è di Nord-Ovest, quindi un vento di Maestrale, tanto più intenso quanto più sono vicine le aree cicloniche e anticicloniche. Nella figura che segue è presente un ingrandimento nella zona di Barcellona.

In realtà le montagne come i Pirenei impediscono che le linee di flusso siano così regolari, in particolare il vento di Maestrale determinato dalla disposizione della coppia ciclone / anticiclone, in realtà si verifica nella valle dell'Ebro dove non incontra ostacoli. Mentre nell'area della Catalogna del nord, i Pirenei impediscono un flusso di Maestrale effettivo dando luogo alla Tramontana della costa Brava. La situazione di Maestrale coincide in genere con il bel tempo per via dell'arrivo dell'alta pressione specialmente in inverno nei primi mesi dell'anno. Un'altra disposizione delle perturbazioni che può essere tipica della primavera è quando la bassa pressione si centra a ovest della catena dell'Atlante mentre la alta pressione è a ovest dell'Italia. Nella figura che segue si può vedere un flusso di scirocco (vento del sud est) sulla costa Daurada:

Dallo zoom si può notare anche la circolazione in tutto il mediterraneo nord occidentale, lo scirocco può determinare un notevole moto ondoso per via di grandi spazi in questa area in cui il vento può soffiare nella stessa direzione senza ostacoli.

Inseguimenti, allineamenti e sorpassi nel cielo

A fine ottobre si è verificato un allineamento eccezionale alle prime ore del mattino.

Bisognava alzarsi abbastanza presto per poterlo vedere e quindi può essere sfuggito ma si è arrivato ad avere 5 corpi celesti nello stesso settore di cielo a est prima del sorgere del Sole.

I più evidenti erano Venere e Giove, molto vicini, meno visibili Marte e, in basso verso l'orizzonte a est Mercurio e infine è passata la Luna calante poco prime della Luna nuova. Tra la prima foto e la seconda possiamo vedere come Marte ha superato Giove passando a est di quest'ultimo in circa 12 giorni di tempo. Nei giorni tra il 24 e il 26 di Ottobre Venere e Giove si sono quasi sovrapposti creando una condizione eccezionale nel cielo. Già il 7 Novembre, al seguente allineamento con la Luna decrescente, alle prime ore della mattina, Venere aveva superato Giove e anche Marte verso est come si vede nella foto seguente.

Questo succede perchè la prospettiva dalla Terra ha consentito di vedere corpi lontani tra loro come Giove, Marte e Venere proiettati nella stessa zona di cielo in un momento della loro orbita intorno al Sole come si può vedere dall'immagine tratta dal Solar System Simulator.

Si è potuto anche notare quanto rapidamente la posizione dei pianeti vista da Terra si è andata evolvendo. In pochi giorni Giove è passato dalla posizione più bassa verso est alla più alta tra Venere e Marte e si è andato allontanando di parecchi gradi ormai rispetto a Venere. Questo è dovuto alla velocità angolare relativa che ogni pianeta ha rispetto al Sole e rispetto alla Terra. La rotazione che la Terra compie intorno al Sole che corrisponde a poco meno di un grado al giorno va sottratta alla velocità di rotazione del pianeta intorno al Sole. La differenza tra i periodi dei pianeti e quello della Terra determina il periodo sinodico che è quello che più conta nella periodicità dei fenomeni visti da Terra. Per cui Venere è il pianeta che si sposta più rapidamente guadagnando ogni giorno posizione più a est, mentre Marte che è leggermente più lento della Terra, si sposta, vista da noi, poco a poco più a ovest. Giove, essendo il più lento tra i pianeti menzionati, si sposta ogni giorno più a ovest per via in realtà dello spostamento della Terra verso est e in conseguenza al punto di vista relativo della Terra. La velocità con cui i pianeti si spostano tra le stelle non dipende solo dal periodo sinodico ma anche dalla posizione reciproca che il pianeta e la Terra hanno rispetto al Sole. Studiamo lo spostamento che in un giorno Venere può fare vista da Terra. Definiamo un sistema di riferimento centrato nel Sole e con asse x la congiungente Sole - Terra e stabiliamo un angolo theta rispetto all'asse x con cui individuare il pianeta nella sua rotazione intorno al Sole. Dalla figura seguente si può vedere l'angolo beta (in blu) tra la Terra e Venere in funzione di theta e l'angolo da cui viene visto il giorno successivo (in rosso).

Si può notare che l'angolo massimo che si può determinare è di circa 46º che corrisponde alla massima elongazione. La differenza tra i due angoli, delta_beta è l'angolo a cui siamo interessati perchè è quello che avvertiamo proiettando tra le stelle le posizioni di Venere in due notti consecutive. Nella figura seguente possiamo vedere la variazione in minuti che vediamo da Terra.

Nei primi 15 gradi di theta è praticamente impossibile vedere Venere perchè è troppo vicina al Sole. Noteremmo una varizione positiva cioè un avanzamento verso Ovest tra le stelle. Ma da theta = 15º in poi vediamo lo spostamento verso Est di Venere che vedremo in tutti gli altri angoli fino ai 180º. Lo spostamento verso Est è normalmente osservabile dovuto al fatto che Venere ruota intorno al Sole verso Est, come tutti gli altri pianeti, ed è più veloce della Terra. Lo spostamento angolare osservabile tra due giorni consecutivi aumenta fino a 1º al giorno verso Est quando l'angolo theta che forma con il Sole è di circa 45º. All'aumentare di questo angolo la differenza angolare incrementa fino a tendere a 1º 15' con l'approssimarsi di nuovo al Sole in Congiunzione (theta = 180º). Il fenomeno segue specularmente una volta passato a Ovest del Sole tenendo in conto i 15º prima e dopo di invisibilità. Il fenomeno descritto vale per un pianeta interno come Venere, ma vediamo cosa succede per un pianeta come Giove, esterno all'orbita terrestre. L'angolo visto dalla Terra durante la orbita di Giove (in blu) varia da 0º a 180º senza limiti come mostrato nella figura seguente.

L'angolo che Giove crea con la Terra il giorno seguente (in rosso) cambia molto poco, ma la differenza in minuti mette in evidenza un diverso andamento rispetto a Venere. Nella seguente figura il delta_beta ha un andamento differente da quello visto per Venere.

Dapprima, quando Giove è in opposizione, lo spostamento che si nota tra due notti consecutive è verso Est, poi, superati i 50º sull'orbita è verso Ovest. Il delta_beta quotidiano raggiunge il suo massimo poco inferiore di 15 minuti di grado verso la congiunzione con il Sole. Vediamo infine il caso se Giove é allineato a Venere. Partendo dalla congiunzione di Venere con la Terra, con theta = 0º, Giove si trova a gamma = 180º. Nella figura seguente è possibile vedere l'andamento dell'angolo gamma lungo tutta l'orbita di Venere.

L'angolo minimo a cui si può verificare allineamento è di circa gamma = 126º quando theta = 50º circa. O dalla parte opposta dell'orbita si può avere il valore massimo gamma = 234º. Cioè in punti dell'orbita di Giove compresi tra un arco di 54º intorno al punto di opposizione si può avere allinemaento con Venere. Nella figura seguente è rappresentato l'angolo delta_beta ottenuto dalla differenza dell'angolo relativo tra Venere e Giove in due notti consecutive, in funzione dell'angolo theta che Venere ha con il Sole nel percorrere la sua orbita.

Nei primi 15º l'angolo relativo è verso Est, poi accresce la differenza fino a raggiungere i 60' di arco quando theta = 95º. Successivamente il valore non aumenta e rimane pressochè costante pari a 1º verso Ovest. Questo è dovuto essenzialmente al moto della Terra intorno al Sole che a grandi distanze dai due pianeti proietta la posizione variandola con un periodo che è la differenza dei periodi sinodici. Abbiamo infatti osservato come rapidamente Giove si è allontanato da Venere dopo averla superata. Tra poco Venere si precipiterà di nuovo verso il Sole mentre Giove va spedito verso la sua opposizione alla Terra. Ora all'alba del 1 gennaio Giove si è allontanato verso ovest tanto da Venere da non essere quasi possibile contenere i due corpi nella stessa foto come si vede nella seguente foto.

Di nuovo la Luna è situata tra i pianeti più vicini a noi, poco a est di Giove. Marte è quasi equidistante tra Giove in alto e Venere a est in basso sull'orizzonte. In circa 2 mesi e mezzo Venere si è spostata di 2 costellazioni a est, ora è nello Scorpione e sta raggiungendo anche Saturno che tra un po' superarerà. Marte si è spostato più lentamente nella Vergine mentre Giove è ai confini della costellazione del Leone dove trovavamo tutti e tre i pianeti nel momento dell'allineamento di fine ottobre. In 68 giorni lo spostamento relativo tra Venere e Giove è stato di poco più di 70 gradi. L'andamento della differenza angolare tra la posizione di Venere e Giove visti dalla Terra è rappresentato nella figura che segue da cui si vede una differenza di poco più di un grado al giorno che va cumulandosi durante poco meno quattro mesi dopo l'allineamento, dopodichè Venere, passando ad essere vespertina tende a raggiungere Giove da ovest.

Grazie alla superiore velocità orbitale della Terra vedremo Giove sfilare verso ovest fino all'opposizione (visibile a sud a mezzanotte) verso metà marzo, ci costerà di più raggiungere Marte ma a maggio lo vedremo anche lui in opposizione. Mentre Venere ancora più veloce di noi sparirà inghiottita dal Sole verso est giá ad aprile. Ai primi di giugno anche Saturno sarà in opposizione. Ad agosto vedremo Venere riapparire a ovest praticamente allineata con Giove prima del tramonto e successivamente a novembre la troveremo allineata con Saturno e tra un anno circa la troveremo allineata a Marte in un continuo inseguimento e sorpasso!

Determinazione dell'ora del tramonto (e dell'alba) per marinai

Abbiamo visto l'ultima volta che un fenomeno caratterizzato da un andamento sinusoidale può essere facilmente calcolato con una semplice regola mnemonica. Possiamo provare ad applicarla alla determinazione dell'ora del sorgere e tramonto del Sole una volta nota la sua declinazione. Quest'ultima la possiamo determinare con la stessa regola perchè varia tra 23.4º il 21 giugno a -23.4º il 21 dicembre e in prima approssimazione segue una perfetta sinusoide che passa per il valore nullo nei giorni di equinozio, il 20 marzo e il 23 settembre. Possiamo scegliere la migliore regola da applicare che presentava lo scostamento minore con il valore corretto. Scegliamo la sequenza 1-3-4-4-3-1 che chiameremo "regola del marinaio" per valutare la declinazione del Sole il 21 Novembre, al secondo mese dopo il solstizio. La declinazione si è ridotta di 7/8 di 23.4 gradi cioè il Sole sta -20.475º. Questa declinazione corrisponde piuttosto al 23 Novembre, un errore di soli 2 giorni, che conferma la validità della regola approssimata che abbiamo scelto. Abbiamo visto nel post del 10/10/2014 che si applica la trigonometri sferica per calcolare l'altezza a di un astro di data declinazione d in un certo luogo di cui è nota la latitudine l e longitudine e l'ora p. Se invertiamo l'equazione per determinare l'altezza a possiamo determinare a che ora il Sole passa per l'orizzonte quando questa si annulla. L'equazione dell'atezza è la seguente:

L'equazione dell'altezza non corrisponde a una sinusoide ma ne è abbastanza simile quindi possiamo studiare come approssimare l'andamento con l'equazione con la quale abbiamo studiato le maree che va da un minimo dell'altezza del sole alla mezzanotte a un massimo al mezzogiorno. I due valori estremi dipendono dalla colatitudine c = 90- l e dalla declinazione d del Sole presa con il segno. Precisamente l'altezza del Sole al mezzogiorno sarà H(12)= c + d e alla mezzanotte H(24)= -c + d. L'ampiezza totale da minimo a massimo è pari quindi a 2c, da cui la colatitudine c risulta essere la semiampiezza. Con l'equazione dell'altezza approssimata possiamo determinare l'ora di intersezione con l'orizzonte annullando l'altezza. L'equazione di una sinusoide con queste caratteristiche nel tempo da 0 a 24 ore è quindi:

Si tratta di una sinusoide di ampiezza c e traslata di d sull'asse dell'altezza solare. Da un confronto tra i due grafici possiamo vedere che le due curve non coincidono, ma presentano delle differenze al crescere della declinazione d del Sole nel senso che la variazione di altezza è più ripida nel caso corretto rispetto a quello approssimato.

Per quanto riguarda l'attraversamento dello zero, che corrisponde alla condizione dell'alba o del tramonto si ha una differenza sempre positiva per il caso approssimato che ritarda l'ora del tramonto per declinazioni positive e il contrario per declinazioni negative. Scriviamo quindi l'equazione dell'ora del tramonto nel caso corretto e approssimato:

La differenza in minuti che si ottiene alla latitudine di 40º è rappresentata dalla dall'andamento del seguente grafico che è praticamente lineare con la declinazione.

Quindi alla latitudine di 40º bisognerà sottrarre circa 1,16 minuti per ogni grado di declinazione del Sole. Per latitudini differenti il valore della differenza in minuti cambia in modo più evidente quanto più ci si avvicina all'equatore. L'ulteriore passo è cercare la condizione di attraversamento dell'orizzonte per individuare il valore che si ricava dall'interpolazione lineare dell'equazione che otteniamo dalla regola del marinaio. Per determinare l'ora del tramonto, dividiamo in 6 intervalli di due ore ciascuno il tempo dal mezzogiorno alla mezzanotte: dopo 4 ore sappiamo che il Sole ha perso metà della semiampiezza (cioè la colatitudine), dopo 6 ore ha perso la semiampiezza, nelle due ore successive perde un'altra metà della semiampiezza. Quindi la condizione di attraversamento si incontrerà intorno alle ore 18, in anticipo nei mesi autunnali e invernali e dopo le 18 per quelli primaverili ed estivi. Se scriviamo l'equazione del segmento che intorno alle ore 18 rappresenta la condizione di attraversamento dell'orizzonte per l'applicazione della regola del marinaio all'equazione approssimata otteniamo la seguente espressione:

La relazione è molto semplice perchè lineare con la declinazione e tiene in conto il complementare della latitudine nel coefficiente angolare. Il risultato che si ottiene dall'interpolazione lineare (in rosso) è in ottimo accordo con il valore che si ottiene con l'andamento approssimato (in blu) come si può vedere dalla figura che segue in cui è stato evidenziato anche il valore esatto (in verde).

In questo modo possiamo determinare dopo quante ore passato il mezzogiorno si verifica il tramonto o quante ore prima si ha l'alba. Per esempio per un luogo che ha latitudine l = 40º la colatitudine è c = 50, quindi il 21 novembre il tramonto si dovrebbe verificare alle ore UT: 4h 44m (tenendo in conto la correzione tra metodo approssimato e esatto). Allo stesso modo, in forma speculare, si può determinare quante ore prima del mezzogiorno si verifica l'alba. C'è un'ulteriore correzione da fare che viene dall'equazione del tempo. Quest'ultima variazione tiene in conto la differenza del mezzogiorno del sole medio, secondo l'orologio, e l'effettiva posizione del transito a Sud nel passaggio al meridiano del Sole. Questa differenza è dovuta alla forma dell'orbita che è ellittica e all'angolo di inclinazione del piano equatoriale terrestre rispetto a quello dell'eclittica in cui giace l'orbita. Da qui risulta che a Novembre il Sole transita al meridiano prima del mezzogiorno dell'orologio di circa 14 minuti. Sottraendo 14 minuti otteniamo un orario per il tramonto alle ore UT: 4h 30m. Se vediamo l'almanacco nautico il tramonto è di circa 7 minuti più tardi per via del fatto che si deve tern in conto il fenomeno di rifrazione. La relazione lineare in funzione della declinazione che abbiamo determinato interpolando la regola del marinaio applicata all'altezza del Sole può essere parametrizzata per differenti latitudini ottenendo l'andamento del delta del tempo in minuti rappresentato nella figura seguente.

Possiamo quindi concludere che con una semplice regola dell'approssimazione del marinaio alla sinusoide, l'errore nella determinazione dell'ora del tramonto può essere contenuto nei 10 minuti. Questa operazione si può fare quasi senza calcolatrice, anche stando in mare... senza bisogno di molte tavole. Per fortuna i fenomeni descritti da equazioni sinusoidali, la maggior parte in astronomia, non sono poi così ostici come sembrano potendo contare su una fase praticamente lineare per un terzo del semi-periodo prima e dopo l'attraversamento del valore medio dell'ampiezza di oscillazione!

Maree e numeri

La marea è un fenomeno così evidente nelle coste europee sull'oceano Atlantico, da cambiare completamente l'aspetto dei luoghi in un intervallo di poche ore. E' un fenomeno legato alla presenza della Luna e alla conseguente variazione sulla superficie terrestre del campo gravitazionale creato dal Sole. In prima approssimazione l'alta marea si può considerare come la deformazione che la Terra subisce durante la rotazione diurna, quando il meridiano locale passa in corrispondenza della Luna o ai suoi antipodi. Avviene quindi due volte al giorno ogni 12 ore e 25 minuti (non perfettamente 12 ore perchè nel frattempo la Luna si sposta nella sua orbita che provoca un ritardo di circa 50 minuti in un giorno intero) circa intervallata da due fenomeni di bassa marea nelle 24 ore del giorno. Bisogna quindi aspettarsi che ogni circa sei ore si passi da una bassa a una alta marea e viceversa. E' quindi sempre presente sulla Terra, riguarda le rocce, l'atmosfera e tutte le masse di acqua libere di spostarsi. Nel Mediterraneo e nei laghi questo fenomeno è meno evidente per via di una ridotta capacità di smuovere grandi masse di acqua e le variazioni che provoca nel livello del mare sono di pochi centimentri. Nella costa Atlantica questo fenomeno è invece macroscopico e può superare la decina di metri di variazione. Nelle immagini sottostanti è possibile vedere come si presenta la baia della Caleta a Cadice con alta e bassa marea.

La strada per il castello di S.Sebastian sul mare in alta marea diventa circondata dagli scogli con la bassa marea, mentre le barche che galleggiano ormeggiate vicino il castello di S.Canterina in alta marea sono appoggiate sulla sabbia durante la bassa marea.

Questo aspetto è molto importante per la navigazione, bisogna infatti sempre conoscere quale è il livello che raggiungerà il mare durante una bassa marea per valutare se ci sono rischi di incagliarsi sul fondo. Inoltre le maree provocano flussi e riflussi molto intensi soprattutto in corrispondenza di stretti o canali e con essi delle pericolose correnti da tenere in conto per la navigazione o il nuoto. La teoria moderna delle maree si fa risalire a Laplace che determinò le equazioni che governano il fenomeno e da queste e ulteriori osservazioni si sono andati determinando i parametri che più incidono. Principalmente la Luna e la sua posizione relativa rispetto al Sole. Se la Luna è allineata al Sole e alla Terra, in fase di Luna nuova o plenilunio, si determinano le maree dette Sigizie, le più intense perchè si sommano in fase gli effetti della Luna e del Sole. Se la Luna e al quarto crescente o al quarto calante le maree sono meno intense. Inoltre se la Luna è più prossima alla Terra al suo Perigeo e in più la marea è sigizia, la marea risultante è ulteriormente amplificata. Le maree risentono della conformazione dei fondali, delle masse di acqua spostabili e delle correnti per cui nel mondo si sono determinate delle mappe con le maree attese. Ci sono anche luoghi dove le maree hanno una periodicità diurna anzichè semidiurna. Ulteriore parametro che influisce sulle maree è la pressione atmosferica: fatto riferimento a 1013 hPa, ogni hPa (o mbar) in meno determina 1 cm in meno nel livello di marea. Quindi le maree più intense sono quelle sigizie invernali quando si verficano forti temporali e conseguenti basse pressioni. In tutti i luoghi dove questo fenomeno è importante, sono disponibili delle tabelle con l'ora in cui avviene l'alta e la bassa marea e i relativi livelli riaggiunti rispetto a un livello di riferimento, detto Datum, che corrisponde al minore livello delle basse maree riscontrato nella storia delle osservazioni. Questo livello è marcato sulle mappe nautiche come linea di costa e da questo livello si calcolerà il livello di profondità durante le fasi di marea. Se consideriamo la superficie della Terra deformata sotto l'azione del campo di marea come una ellisse e ne vogliamo studiare la forma che assume a un osservatore in rotazione con essa durante 1/4 di giorno, si ottiene un modello semplificato retto dall'equazione seguente sotto l'ipotesi di piccola variazione dell'ampiezza di marea (ordine della decina di metri) rispetto al raggio terrestre:

dove la variabile x varia tra 0º e 180º per via di una conveniente duplicazione di angolo che permette abbassare il grado della espressione che si ottiene dalle equazioni parametriche dell'ellisse. L'equazione che consente al navigatore conoscere il livello d'acqua dalla linea di galleggiamento e determinare rischi di incagliamento è la seguente:

dove il livello di sonda riscontrabile è dato dal Datum nel punto nave (S0), il livello della bassa marea del giorno (Slt), il termine dovuto alla pressione atmosferica (Sp) e a cui si somma il termine dell'ampiezza della variazione di marea diurna instantanea che deve essere calcolata dalla formula precedente. L'ampiezza istantanea si calcola dalla ampiezza totale, data dalla differenza tra la quota di alta e bassa marea e tenendo in conto l'istante in cui si esegue il calcola in funzione dell'angolo fatto 0º l'angolo che corrisponde al tempo di bassa marea e 180º quello di alta. La formula che si utilizza nel semi-periodo di marea è una approssimazione delle varie componenti ma per la sicurezza della navigazione è sufficiente. Come visto si tratta di una funzione trigonometrica, che come noto è legata alla misura della semi-corda di una circonferenza in funzione dell'angolo. Normalmente si ottengono valori irrazionali, cioè determinati da radici di numeri interi, per questo la funzione è detta trascendente. Ma per fortuna dei marinai non bisogna essere degli esperti in trigonometria per sapere lo stato della marea una volta note le tabelle quotidiane. Infatti nella maggior parte dei casi l'ampiezza di marea si determina senza calcolatrice o applicazioni elettroniche con un semplice calcolo: la

regola dei dodicesimi

. Dividendo in sei ore l'intervallo tra la bassa e alta marea, senza commettere un grande errore visto che in 6 ore la Terra compie 90º e quindi in questo lasso di tempo si passa da una alta marea quando il meridiano passa in corrispondenza della Luna a una bassa marea quando questa è in quadratura rispetto al passaggio per il meridiano. La regola stabilisce che al termine della prima ora la marea è cresciuta di 1/12 (8.3%), alla seconda aumenta di altri 2/12 fino a raggiungere i complessivi 3/12 (25%), alla terza sale di 3/12 cumulando i 6/12 (50%) raggiungendo il valore del livello medio delle acque in una determinata zona. La variazione durante le tre ore successive viene calcolata in modo speculare cioè si incrementa di 3/12 alla quarta ora cumulando i 9/12 (75%), poi altri 2/12 alla quinta ora raggiungendo gli 11/12 (91.7%) e infine l'ultima ora consente di aggiungere l'ultimo 1/12 rimanente per completare i 12/12 della massima ampiezza che consente di realizzare la alta marea. Visto che la funzione esatta del modello semplificato la conosciamo, possiamo riscontrare che l'approssimazione mnemonica sbaglia solo in 2 stime su 7, alla prima e ultima ora visto che la crescita è del 6.7% anzichè del 8.3%. La prima e ultima ora sono quelle che danno meno contributo alla variazione e quindi danno meno problemi in caso di errore di valutazione. Mentre sono le ore centrali, la terza e la quarta, che da sole fanno il 50% dell'intero fenomeno. Questa è appunto la caratteristica di un fenomeno ciclico, retto da una equazione trigonometrica: piccole variazioni iniziali e finali vicino ai minimi o massimi e grandi variazioni nella fase centrale e specularità tra la prima e la seconda metà del fenomeno. La regola è anche molto facile da ricordarsi perchè coinvolge in modo evocativo i primi numeri del sistema decimale: 1-2-3. La ripetizione dopo averne invertito il senso: 3-2-1 completa il periodo la cui somma è appunto 12. Il fenomeno è ben descritto se diviso in 6 parti, le ore di un quarto di giorno o i 30º di una ipotetica base 0-180º di una funzione trigonometrica. In effetti la funzione citata è caratterizzata dal valore 0.5 a 90º (3 suddivisioni) e tale da raddoppiare il valore che aveva a 60º (2 suddivisioni). Se imponiamo questi vincoli e andiamo a cercare tre numeri interi l, m, n che abbiamo queste caratteristiche otteniamo n=l+m cioè il terzo valore deve essere pari alla somma dei primi due, il totale è pari a 4n e il primo valore deve essere tale che l/4n = 0.067: con n=3 abbiamo di conseguenza m=2 e l=1. La regola menmonica svela che si interpreta un fenomeno ciclico molto bene se la suddisione è in 6 parti. La chiave sta nel valore del cos(60)=0.5 che è l'unico numero razionale nelle tabelle trigonometriche, riportabile cioè a una semplice frazione tra numeri interi! Dividendo l'arco di circonferenza in 6 parti uguali grandi quanto il raggio si ottiene un esagono che gode della proprietà di essere formato da 6 triangoli equilateri, dove le semibasi sono pari alla metà del raggio. Questa proprietà ben nota consente di facilitare le operazioni quando si utilizzano intervalli di 60º nei fenomeni ciclici. Nel caso della marea ai primi 60º gradi, cioè un terzo della durata del fenomeno, si è a metà della variazione tra la bassa e la quota della marea media. La suddivisione in 6 sulla ascisse e in 12 sulle ordinate ha anche il vantaggio di permettere di gestire i multipli di 2, 3 e 4. Questa stessa regola la possiamo applicare alla variazione ciclica di qualsiasi altro fenomeno come ad esempio la variazione della declinazione del Sole nei mesi da un solstizio al sucessivo e la conseguente durata del giorno. Abbiamo già pronta la divisione dell'anno in 12 mesi: nel semestre dopo il solstizio estivo, il Sole passa da +23º a -23º di declinazione e il tramonto alle nostre latitudini di 40º circa passa da + 90 minuti a -90 minuti rispetto alle 18 UTC (ora del tramonto all'equinozio). Possiamo prendere una sola metà del fenomeno: dall'equinozio di Settembre al solstizio di Dicembre e ragionare sulla semiampiezza del fenomeno. Nel periodo tra Settembre e Dicembre si passa da 0º a -23º (o -90 minuti) che sono i 6/6 della semiampiezza della variazione totale. Dopo il primo mese dall'equinozio di Autunno al 21 Ottobre si perde i 3/6 cioè circa 11.5º (o 45 minuti), a novembre altri 2/6 cioè altri 7.6º (altri 30 minuti) che portano la declinazione del sole a 19º sud (e il tramonto alle 16:45 UTC). Finalmente l'ultimo mese in Dicembre c'è una piccola variazione dei restanti 3.9º per totalizzare i 23º del solstizio (tramonto alle 16:30 UTC). Questo è quello che sta succedendo durante questi mesi. Notiamo che come per le maree un mese prima e un mese dopo l'equinozio, dove il Sole occupa la sua posizione media, si assiste alla variazione maggiore. Dopo queste considerazioni è utile cercare una regola più precisa anche per il primo o l'ultimo sesto di semiperiodo di variazione? Possiamo studiare numericamente il problema dal momento che conosciamo la funzione esatta che domina il fenomeno semplificato e che l'approssimazione può essere determinata attraverso le variazioni incrementali nel tempo cioè dalla derivata della funzione. Tornando alle maree una buona approssimazione si può ottenere calcolando la derivata dell'angolo metà e moltiplicata per la variazione angolare (che corrisponde a una integrazione numerica) come segue:

Per x=30º il sin(15) è un numero irrazionale che porta al valore di 0.0677 che è molto vicino al valore reale. Proseguendo con questo metodo si trovano i valori che si realizzerebbero con una approssimazione numerica del problema trigonometrico. Da questi si possono ottenere le terne dei numeri interi che possono approssimare meglio la funzione trigonometrica rispetto alla regola dei dodicesimi. Una terna migliore sarebbe 1-3-4 e i delta si dovrebbero calcolare in sedicesimi. In questo caso il primo sesto sommerebbe il 6.25% che è più vicino al valore corretto di 6.7% e continuerebbe ad accertare il 25% e il 50% per i successivi. Però il numero 16 è un po' più complicato da usare. Si potrebbe migliorare ancora con la terna 10-27-37 e dividendo in 148-esimi pero si complica ancora di più. Forse sarebbe meglio dividere in 144-esimi e porre la terna in 10-26-36 però anche in questo caso toccherebbe avere una calcolatrice in barca o sulla spiaggia e tutto questo per la prima o ultima ora dove i cambiamenti sono impercettibili. No, va bene la regola del 1-2-3-3-2-1 e sorprendentemente interpretiamo bene queste funzioni trigonometriche che sono trascendenti e danno luogo normalmente a valori irrazionali con dei numeri molto amichevoli. Durante la rivoluzione francese si era pensato di razionalizzare tutto e utilizzare la base dieci anche per le ore del giorno e i mesi dell'anno (ognuno di 30 giorni con 5 di recupero a fine anno). Anche l'ora veniva suddivisa in 100 minuti e i minuti in 100 secondi. Non c'erano più 4 settimane in un mese ma 3 decadi di 10 giorni...con un giorno di riposo a decade i giorni di lavoro nel mese risultavano aumentati. Alla fine si è tornati alla divisione in 12 dell'anno, in 24 ore della giornata e di 60 minuti per le ore e di 60 secondi per i minuti. Sarà per le 12 lunazioni in un anno, o che semplicemente il numero 12 consente di dividere per 2-3-4 e il 60 contiene anche il 5, il 6 ossia tutti i primi 6 numeri. Inoltre è divisibile per il 10, il 12, il 15, il 20 e il 30 per cui alla fine prevalse il sistema sessagesimale . O meglio tornò perchè fin dai babilonesi si era capito che quando si ha a che fare con Sole e Luna poter passare per qualcosa che abbia a che fare con l'angolo di 60º rende tutto più facile!