Quanto brilla Venere?

In questi giorni si può notare a ovest la luce del pianeta più vicino a noi farsi quasi imbarazzante. Può essere oramai scambiato per un aereo in fase di atterraggio. Poi evidentemente si nota che si muove lentamente nel cielo come le stelle che gli stanno intorno per tramontare verso le 19:30. Venere sta raggiungendo la sua massima magnitudine visto da Terra nella seconda settimana di dicembre, poi si approssimerà angolarmente al Sole e non potremo più vederlo con il sufficiente contrasto di oscurità. Quello che sta succedendo è il suo aprossimarsi a noi da ovest. Ha giá raggiunto il punto di massima elongazione ai primi di novembre quando l’angolo che crea con il sole, visto da Terra è massimo e quindi tramonta abbastanza dopo il Sole da campeggiare nel cielo di ovest in tutta evidenza. Avvicinandosi ulteriormente a noi il suo diametro apparente cresce ma nello stesso tempo non ci dà più la faccia completamente illuminata che aveva fino a un paio di mesi fa: inizia a farsi vedere solo uno spicchio. La quantità di luce che irradia, da una parte è maggiore per via del diametro apparente crescente, dall’altra la superificie illuminata vista da Terra diminuisce, per cui ci sarà una condizione di ottimo sotto la quale vedremo la massima magnitudine per poi ridursi velocemente. Lo studio della evoluzione della magnitudine di Venere con l’angolo con il quale noi lo vediamo è lo studio che voglio proporre per rispondere alla domanda del titolo. Prima di tutto bisogna studiare quale è la luminosità legata alla fase di un pianeta interno o della Luna. Dall’analisi degli angoli da cui vengono visti gli oggetti illuminati dal Sole, possiamo definire l’angolo della fase β come l’intersezione tra una sfera e un piano pasante per l’origine e l’asse zeta. Il risultato è una semiellisse di semiasse cos(β). Se prendiamo ad esempio il primo quarto di Luna, la superficie illuminata viene ad essere quello che rimane del semicerchio a cui viene sottratta una semiellisse e il secondo semicerchio. L’ellisse iscritta nel cerchio è la superficie che si va illuminando passando oltre il primo quarto fino a Luna piena. Successivamente si sottrae al cerchio illuminato la zona che rimane tra il semicerchio e la semiellisse. In sintesi se esprimiamo tutto in funzione dell’angolo della fase β, l’equazione della superficie illuminata è:

Per il seguimento del pianeta Venere possiamo riprendere lo stesso schema che abbiamo utilizzato per lo studio delle fasi e costruire il triangolo formato nel riferimento fisso Sole-Terra con il pianeta che si muoverà con una velocità angolare corrispondente al periodo sinodico cioè la differenza tra la velocità angolare del pianeta interno e quella della Terra:

Possiamo esprimere le relazioni geometriche in funzione dell’angolo δ che il pianeta ha con il sole e calcolare di conseguenza α e β considerando la Terra sempre a distanza fissa dal Sole pari al raggio medio dell’orbita. Allo stesso modo si può considerare l’orbita di Venere come una circonferenza senza commettere una grande imprecisione per il modello semplice che ci stiamo costruendo. Il tempo con cui si descrive l’angolo δ è quindi determinato dalla legge:

La zona di Venere illuminata dipenderà quindi dall’angolo β e dal quadrato del diametro apparente che è conseguente alla distanza tra Terra e Venere. La magnitudine merita un discorso a parte. Infatti il concetto di magnitudine che vale per le stelle ha una origine lontana nella suddivisione di Ipparco delle stelle di prima fino a sesta grandezza. Per mantenere questa suddivisione si è definita una funzione logaritmica per la quale tra le stelle di prima e di sesta grandezza ci fossero circa 2 ordini di grandezza della luminosità percepita, istituendo così il fattore circa pari a 2.5 proveniente dalla radice quinta di 100. La stella di riferimento di magnitudine 1 è Vega. A questo punto corpi di magnitudine superiore hanno iniziato a prendere i valori negativi, compresi i pianeti, Luna e Sole. Un successivo passo è stato fatto con la istituzione della magnitudine assoluta che tiene conto anche della distanza dell’oggetto che emette la luminosità e relazionandola con la magnitudine apparente come viene vista da Terra secondo la equazione:

Dove m è la magnitudine apparente e D è la distanza della stella in parsec. Per un pianeta la magnitudine assoluta è una proprietà che dipende dalle caratteristiche del pianeta stesso e si definisce secondo la magnitudine che avrebbe se stesse a 1 AU di distanza dal Sole e dalla Terra. Riassumendo il calcolo della magnitudine di Venere parte dall’equazioni esposte nel post del 6 luglio che permettono di calcolare la distanza D e l’angolo della fase β del pianeta in funzione dell’angolo δ che questo forma tra sole e terra. Moltiplicando la superficie illuminata esposto sopra per il diametro apparente, dal calcolo del logaritmo si ottiene infine attraverso un fattore la magnitudine. Come illustrato nella figura seguente la magnitudine un valore minimo, che corrisponde alla massima luminosità in questi giorni.

Dalla figura si può notare che passata la metà del mese di dicembre la magnitudine andrà rapidamente decrescendo fino a non essere più osservabile già ai primi di gennaio. Dalla mia terrazza il pianeta vicino appare al telescopio come una piccola mezzaluna in posizione orizzontale.

...e a guardar bene anche ad occhio nudo si capisce che non si tratta di un disco luminoso ma qualcosa di più schiacciato... e questo è il perchè!