domenica 21 settembre 2014

Orientarsi con le stelle: la Stella Polare

Nell'emisfero nord siamo abbastanza fortunati ad avere una stella a cui praticamente punta l'asse di rotazione della Terra. Guardando durante una serata il cielo a intervalli di una mezzora, ci si rende conto che tutte le stelle percorrono archi nel cielo da est a ovest tranne una: la stella polare. Tutte le altre stelle a ben guardare girano intorno a lei! Si trova vicino alla costellazione dell'orsa maggiore, a circa 5 prolungamenti delle stelle Dubhe e Merak che sono le stelle che chiudono il carro. La stella polare in se non è molto evidente avendo una magnitudine variabile circa +2 ma è una stella importantissima perchè la sua altezza coincide quasi con la latitudine di un qualsiasi punto nell'emisfero Nord. L'errore che si commette è inferiore a un grado ma ricordando che un grado sono comunque 60 miglia meglio essere precisi. Quindi bisogna fare una misura accurata dell'angolo osservato, dell'istante di osservazione e approntare le dovute correzioni che sono tabulate sull'almanacco. Torniamo al nostro naufrago presso l'isola di Socotra. Viste le condizioni del vento e le correnti dominanti in direzione nord - est tipiche del mese di settembre in questa zona monsonica, stima la sua posizione alla mezzanotte pari a ls = 12º 20' N e Ls = 055º 20' E. Alle Hl = 00h 01m locali prende la misura dell'altezza della stella Polare pari a a0 = 12º 37.1', con le correzioni di -2.5' per depressione dell'orizzonte (fa la sua osservazione a 2 metri sul livello del mare) e -4.5' per via della rifrazione ottiene av = 12º 28.9'. Per poter utilizzare le tabelle di correzione per la polare occorre conoscere l'angolo orario locale dell'ariete che coincide con la linea del nodo ascendente. Visto che iniziamo a parlare di stelle ci viene utile lo schema della vista del triangolo di posizione dal polo nord. Posizioniamo il meridiano di Greenwich a ore 6, il meridiano locale 55º circa verso est e ci calcoliamo l'angolo orario istantaneo della stella polare. L'ora di Greenwich, vista la stima di longitudine è UTC = 20h 20m. Andiamo sull'almanacco e vediamo l'angolo orario dell'ariete alle 20h e alle 21h e interpoliamo ottenendo hGY = 303º 39.5' e lo rappresentiamo compiendo un angolo pari a quello calcolato partendo dalla posizione G in senso orario che corrisponde a hlY = 358º 39.5'. Ci troveremo a 2º dal meridiano locale! (non è del tutto un caso se pensiamo che siamo vicini all'equinozio, mancano solo 3 giorni e la linea dell'ariete alla mezzanotte coinciderà con il meridiano locale). Poi dalla linea dell'ariete aggiungiamo l'angolo sidereo di Polaris (alfa Ursae Minoris: aUMi) A.S._aUMi= 317º 05' e ci calcoliamo langolo orario da Greenwich: hG_aUMi = 260º 44.5'. Ultimo sforzo, sommiamo la longitudine stimata e troviamo hl_aUMi = 316º 04.5'. Lo schema che segue ci aiuta a capire la posizione relativa della stella.
Ora dobbiamo prendere la tabelle di correzione per la latitudine della Polare, la prima è funzione dell'angolo hlY, in corrispondenza del valore calcolato precedentemente otteniamo c1 = -29.1'.
La seconda tavola è funzione anche dell'altezza e la terza del mese dell'anno e otteniamo +0.2.
Quindi la latitudine viene ad essere la somma tra l'altezza vera e la correzione totale lv = av + ctot = 12º 00'. Si evince che la stima era sbagliata di 20' più a Nord, evidentemente le correnti hanno girato più a est del previsto e le 20 miglia attese forse sono state percorse verso est! Quindi quale sarà la longitudine attuale? Difficile dirlo con la sola stella polare, occorrono misure più precise e per questo bisognerà trattare in dettaglio i circoli e le rette di altura.

sabato 20 settembre 2014

Orientarsi con le stelle: il Sole

Nella navigazione astronomica servono alcuni concetti di base, conoscendoli, orientarsi diventa abbastanza facile. La misura del tempo è essenziale, come detto nel post precedente, conoscere l'ora di Greenwich con precisione permette addirittura di ovviare alla bussola. Se siamo in un punto dell'oceano senza sapere in che longitudine siamo, l'unica ora utile da sapere è quella del fuso che corrisponde al meridiano di Greenwich. Per cui il cronometro di bordo, in qualsiasi posto del mondo, segnerà l'ora di riferimento UTC (Universal Time Coordinated). Dato che nel periodo di una ora, la Terra compie 15 gradi (=360°/24h), un fuso orario, che ha appunto 15 gradi di longitudine di ampiezza, viene "percorso dal Sole" in una ora. Verso Est l'ora locale è in anticipo rispetto a Greenwich e il contrario verso Ovest. Conoscendo la longitudine di un luogo a Est di Greenwich, dividendo per 15 possiamo sapere quante ore sommare (se verso Ovest sottrarre) alla ora UTC: Hl = HG + L/15. Per esempio a L= 030° 00' E, l'ora locale sarà +2 rispetto a Greenwich. L'ora locale varia con continuità, anche per frazioni di ora, dal momento che è legata alla posizione del Sole. Mentre l'ora legale che viene utilizzata sulle imbarcazioni che fanno viaggi oceanici, viene stabilita per valori discreti entro +/- 7.5° intorno al fuso di riferimento (quindi tra L1=22º 30' E e L2=37º 30'E l'ora legale è +2 UTC). Infine si definisce ora ufficiale come l'ora che il governo di un paese decide per diverse ragioni, una quella geografica, ma non solo, tenendo in conto l'ora legale. Quando è incognita la longitudine, non possiamo però sapere l'ora locale, quindi dovrà essere stabilita sulla base delle osservazioni del Sole di giorno e degli astri durante la notte, che ci permetteranno conoscere la longitudine e di conseguenza l'ora locale. Secondo concetto essenziale è legato a come individuare di forma univoca un corpo celeste nei diversi sistemi di coordinate. La posizione di ogni corpo celeste determina il triangolo di posizione formato dallo zenit, il polo dell'emisfero dove ci troviamo (nel nostro è il polo nord) e l'astro stesso. Lo zenit è la proiezione del punto dove ci troviamo sulla sfera celeste è quindi caratterizzato da latitudine e longitudine terrestre. Per un navigatore nell'oceano la latitudine come la longitudine non sono note a priori, a meno che disponga del GPS, anzi è un'incognita del nostro problema. Nei problemi di navigazione dovremo far finta di saperla, o meglio, stimarla dall'ultima posizione nota e fare una verifica rispetto all'osservazione diretta dell'astro. L'osservazione è generalmente determinata dall'altezza dell'astro sull'orizzonte, misurata con il sestante e dall'ora UTC dell'osservazione. Il sestante è uno strumento che permette di riportare la posizione dell'astro sull'orizzonte grazie a due specchi di cui uno è fisso e l'altro può ruotare intorno a un asse. Lo specchio fisso divide in due parti un oculare per metà trasparente che si tiene fisso sull'orizzonte. La misura dell'angolo viene poi letta su un goniometro con la precisione del decimo di grado grazie a un nonio che permette di rilevare le frazioni del grado. L'altezza osservata viene poi corretta per gli effetti dovuti alla rifrazione, che dipendono essenzialmente dall'altezza dell'astro, e della depressione dell'orizzonte dovuto all'altezza diversa da 0 da cui viene fatta l'osservazione (per un veliero su può assumere 2 metri). Questi valori di correzione sono tabulati sull'almanacco nautico e consentono di ottenere l'altezza vera da quella osservata. Terzo elemento essenziale è l'uso dell'almanacco nautico. Entrando sull'almanacco nella pagina corrispondente al giorno dell'osservazione, per l'ora UTC dell'osservazione si possono ricavare declinazione e angolo orario dell'astro osservato. Per sole, luna e pianeti, l'almanacco fornisce per ogni ora UTC il corrispondente angolo orario. Per le stelle bisogna passare per la determinazione dell'angolo orario della linea dell'ariete e da questa, sommare l'angolo sidereo (A.S. = 360 - A.R.) per ottenere l'angolo orario. Vediamo prima dei casi notevoli per il triangolo di posizione dove almeno uno degli angoli è nullo e consente con semplici passaggi di ottenere la latitudine e/o la longitudine vera. Facciamo, come esempio, lo studio della determinazione della posizione con diverse osservazioni nel tempo. Contiamo solo su un cronometro, un sestante e l'almanacco nautico nonché una calcolatrice. Questo è quello che dovrebbe avere in dotazione Robert Redford nel film "All is lost" in cui dopo esser naufragato a largo dell'isola di Socotra viene trascinato dalla corrente. Le osservazioni e il relativo punto nave gli consente di sapere che sta attraversando una zona dedicata al passaggio di navi portacontainer da cui spera di avere un soccorso. Mettiamo che poco prima del naufragio abbia controllato la posizione e sappia stimare la posizione all'alba seguente in: ls= 11° 30' N Ls= 054° 00' E. Osserva sorgere il sole a UTC= 02h 11m del 19 settembre 2014. Si deve prendere l'istante in cui la parte superiore del Sole risulta tangente all'orizzonte visibile, per effetti della rifrazione e al semidiametro medio del sole corrisponde a una posizione del centro del Sole pari a 0º 50' sotto l'orizzonte. L'almanacco ci dà per la latitudine ls l'ora locale del sorgere alle Hl= 05h 49m con una differenza di 3h 38m con hG.
Moltiplicando per 15 otteniamo la longitudine che risulta essere Lv = 054° 30' E. Questo è il valore vero da considerare per le future osservazioni. Quindi c'è almeno un errore di poco meno di 30 miglia (30' di longitudine a circa 12º di latitudine) nella stima fatta precedentemente. Per la latitudine il metodo basato sul sorgere o sul tramonto del sole non è sufficientemente preciso da poterla determinare in modo soddisfacente. Aspettiamo dunque il passaggio del sole al meridiano superiore (quello del mezzogiorno). Questo è un altro punto notevole dove l'angolo tra il polo e l'astro si annulla e il triangolo di posizione degenera in un segmento. La latitudine si ottiene facilmente conoscendo la declinazione del Sole in un dato giorno ricavata dall'almanacco e l'altezza del Sole osservata e corretta e applicando la relazione l = d + (90 - a). Stavolta se abbiamo una bussola ci torna utile però non è necessaria. Quando il sole sta a circa 15 di gradi a Est del Sud preciso, quindi quando ha un azimut circa z = 165º si prende l'altezza e il tempo, poi lo prendiamo a z = 180º e poi a z = 195º. Dovremmo riscontrare che il Sole ha avuto circa la stessa altezza, durante le 3 acquisizioni, ma la centrale è leggermente più alta confermando che effettivamente corrisponde al passaggio al meridiano. La bussola purtroppo presenta delle deviazioni che dipendono dalla parte del mondo dove ci troviamo (verso i poli sono maggiori) e dai disturbi dovuti a oggetti metallici sull'imbarcazione o nelle vicinanze (anche cavi sommersi) per cui ci si può aspettare errori anche superiori ai 10º. Per cui l'ideale è consultare l'almanacco, leggere l'ora del passaggio al meridiano, PMG = 11h 54m, che corrisponde alla ora UTC = 8h 16m per l'ultima longitudine stimata.
Nella colonna del sole riportiamo tutte le osservazioni alla ora UTC (oramai conoscendo la stima della longitudine e dividendo 15 e sommando ala ora UTC otteniamo l'ora locale) e fare le 3 osservazioni 10 minuti prima, alla stessa ora e 10 minuti dopo del PMG.
Dalla relazione tra latitudine, declinazione e altezza, a ls = 11º 30' N ci aspetteremo di misurare l'altezza del sole a = 79º 57', invece l'altezza osservata è ao = 79º 14' che corretta per rifrazione e depressione orizzonte risulta essere l'altezza vera pari av = 79º 27' che corrisponde a lv = 12º 00' N, quindi ci siamo spostati 30 miglia a Nord. Questo è dovuto alle correnti (deriva) e ai venti (scarroccio) che hanno impresso una velocità alla scialuppa di circa 5 nodi in direzione Nord che per le 6 ore tra una osservazione e l'altra ha comportato lo spostamento di 30 miglia. Abbiamo visto come di giorno si può determinare la longitudine e la latitudine nei punti notevoli del passaggio del Sole, all'alba (o tramonto) e al passaggio al meridiano con semplici formule e l'uso dell'almanacco. Nel prossimo post vedremo come fare ulteriori rilievi per determinare il punto nave di forma via via più completa.

giovedì 11 settembre 2014

Orientarsi con le stelle

Guardando il cielo, si può avere la percezione che le stelle stiano lì a marcare delle forme e dei confini quasi come i punti sparsi di un sistema cartesiano proiettato su uno schermo sferico. I punti sono effettivamente distribuiti in modo un po' caotico, invitando a trovare delle forme geometriche formate da rettangoli, triangoli e linee che hanno finito per rappresentare figure associate a delle forme che richiamano alla memoria animali o figure mitologiche. Sono però punti che tra loro ripresentano sempre le stesse posizioni relative, si alternano nelle varie stagioni dell'anno tornando sempre nelle stesse posizioni a seconda dell'ora e del giorno. Insomma le stelle sono adattissime per orientarsi e così faremo spiegando il metodo che si usa tuttora per la navigazione... in caso che il GPS non funzioni! Non solo gli uomini ma anche alcuni animali sono in grado di orientarsi con le stelle: è notario il caso di alcuni mammiferi, uccelli, pesci e anche insetti. Sicuramente il loro metodo è meno scientifico del nostro che si basa sulla trigonometria sferica ma ugualmente efficace. Il concetto di base è che su una superficie sferica ogni punto può essere individuato da due coordinate: due angoli che corrispondono a paralleli e meridiani rispetto a un riferimento, esattamente come si fa per i punti sulla Terra che vengono individuati attraverso latitudine e longitudine. Sulla sfera celeste, la latitudine corrisponde alla declinazione, mentre la longitudine all'ascensione retta. C'è un ulteriore sistema di coordinate che è permette individuare la stella dal punto di vista di un osservatore sulla Terra: altezza e azimut. L'altezza sull'orizzonte equivale al parallelo della sfera che ha lo zenit come vertice, mentre l'azimut corrisponde al meridiano a partire dal polo nord geografico. Una stella si puó dunque individuare passando dal sistema di coordinate celesti a quello locale e vice versa. Tutte le sfere si possono considerare concentriche e le differenti trasformazioni sono di rotazione sugli angoli di Eulero. Un osservatore su una imbarcazione in un punto dell'oceano può sapere dove si trova in termine di latitudine e longitudine se sa l'ora di Greenwich e l'altezza di un astro: il sole o la luna di giorno o luna, pianeti e stelle durante il crepuscolo nautico (il sole è sotto l'orizzonte di non più di 12 gradi), cioé quando l'orizzonte è ancora visibile e l'oscurità del cielo è già sufficiente per vedere le stelle di maggiore magnitudine. In queste condizioni, partendo da un punto di coordinate stimate e l'altezza misurata con il sestante è possibile risalire alla posizione corretta. Se le stelle osservate sono due o addirittura tre l'osservazione è tanto più precisa. Si procede nel seguente modo: innanzitutto va stimata la posizione nella quale si sta navigando sulla base dell'ultima rilevazione precisa, la direzione della rotta, la velocità e il tempo intercorso. Il vettore spostamento dato da velocità (nodi) x tempo (ore) ci dá le miglia di cui ci siamo separati dal punto nave precedente. Quindi a latitudine e longitudine della vecchia posizione va aggiunta il delta latitudine e il delta longitudine determinati dal vettore spostamento. Per quanto riguarda la latitudine il calcolo del delta è semplice perchè basta passare dalle miglia percorse per la componente dello spostamento in direzione nord-sud e divedere per 60 per ottenere i gradi di cui ci si è spostati. Per il delta longitudine bisogna considerare che uno spostamento in miglia lungo la direttrice est-ovest diviso 60 permette il calcolo dei gradi di cui ci si è spostati solo nel caso che la latitudine sia nulla, ovvero sull'equatore. Per tutte le altre latitudini, la larghezza dello "spicchio" rappresentato da due meridiani successivi si va riducendo con l'aumentare di questa, quindi lo stesso spostamento in miglia, diciamo 60, corrisponde a 1 grado all'equatore misura 2 gradi di longitudine alla latitudine di Oslo (circa 60 gradi). Questo è dovuto al fatto che la longitudine si riduce con il coseno della latitudine. O in altri termini: la circonferenza in un parallelo va con il raggio del parallelo che va decrescendo verso i poli con il coseno della latitudine. Per calcolare corretamente la nuova longitudine bisogna quindi dividere lo spostamento angolare determinato dallo spestamento in miglia dividendo per il coseno. A questo punto serve solo l'almanacco annuale delle effemeridi, un buon cronometro che ci sappia dare con molta precisione l'ora di Greenwich a qualsiasi longitudine siamo e un sestante per misurare l'angolo di cui l'astro si eleva dall'orizzonte. Il procedimento analitico lo spiegherò in un prossimo blog per specialisti della navigazione astronomica, ma è interessante notare che di fatto neanche la bussola è più indispensabile. Questo procedimento ha consentito di risolvere il problema della scarsa affidabilità delle letture del nord magnetico dal momento che nei vari punti della terra le deviazioni magnetiche sono differenti e oltretutto cambiano nel tempo. Il principio di calcolo è basato sul fatto che la longitudine stimata ci consente di sapere che angolo ci separa dal meridiano di riferimento di Greenwich, l'ora ci dice quale è l'angolo che dobbiamo sommare per sapere dove si posiziona l'azimut dell'astro rispetto al meridiano locale. Bisogna poi posizionare il riferimento delle ascensioni rette delle stelle che è la posizione dell'ariete, da qui è facile posizionare i meridiani di appartenenza delle stelle intorno a noi. Dal momento que ogni ora la sfera celeste si sposta di 15 gradi verso ovest, dovremo trasformare l'ora in gradi e posizionarci rispetto al meridiano locale che è a sua volta posizionato rispetto a Greenwich e anche la stella osservata va posizionata rispetto a Greenwich attraverso il riferimento dell'ariete. In pratica ogni stella di data declinazione e ascensione retta di notte fa un certo arco nel cielo, per cui in un istante e luogo, altezza e azimut devono coincidere con la trasformazione di Eulero della sua declinazione e ascensione retta. Se tutti i parametri sono corretti, incluso l'ora (con precisione al minuto) e l'altezza (con precisione del sestante al decimo di minuto possibilmente), se ci sono differenze queste dipendono solo dalla posizione stimata e quindi il calcolo consente una correzione. Prendendo a riferimento più stelle, 2 o 3, la posizione corretta può essere intersecata fino ad eliminare gli ulteriori errori di misura. Il passaggio essenziale è pensare che una stella può esser vista ad una altezza misurata con il sestante solo in un luogo di punti sulla terra che descrive un cerchio sulla superficie terrestre. Localmente questo cerchio si può confondere con un segmento perpendicolare alla direzione con cui l'astro è visto, questo segmento fa parte della retta di altura o di Marq. Due rette di altura individuano un punto in forma univoca e 3 individuano un triangolo al cui baricentro cade la posizione effettiva della nostra imbarcazione. Vedremo come questo calcolo viene effettuato con poche nozioni essenziali di geometria sferica.