lunedì 19 ottobre 2015

Maree e numeri

La marea è un fenomeno così evidente nelle coste europee sull'oceano Atlantico, da cambiare completamente l'aspetto dei luoghi in un intervallo di poche ore. E' un fenomeno legato alla presenza della Luna e alla conseguente variazione sulla superficie terrestre del campo gravitazionale creato dal Sole. In prima approssimazione l'alta marea si può considerare come la deformazione che la Terra subisce durante la rotazione diurna, quando il meridiano locale passa in corrispondenza della Luna o ai suoi antipodi. Avviene quindi due volte al giorno ogni 12 ore e 25 minuti (non perfettamente 12 ore perchè nel frattempo la Luna si sposta nella sua orbita che provoca un ritardo di circa 50 minuti in un giorno intero) circa intervallata da due fenomeni di bassa marea nelle 24 ore del giorno. Bisogna quindi aspettarsi che ogni circa sei ore si passi da una bassa a una alta marea e viceversa. E' quindi sempre presente sulla Terra, riguarda le rocce, l'atmosfera e tutte le masse di acqua libere di spostarsi. Nel Mediterraneo e nei laghi questo fenomeno è meno evidente per via di una ridotta capacità di smuovere grandi masse di acqua e le variazioni che provoca nel livello del mare sono di pochi centimentri. Nella costa Atlantica questo fenomeno è invece macroscopico e può superare la decina di metri di variazione. Nelle immagini sottostanti è possibile vedere come si presenta la baia della Caleta a Cadice con alta e bassa marea.
La strada per il castello di S.Sebastian sul mare in alta marea diventa circondata dagli scogli con la bassa marea, mentre le barche che galleggiano ormeggiate vicino il castello di S.Canterina in alta marea sono appoggiate sulla sabbia durante la bassa marea.
Questo aspetto è molto importante per la navigazione, bisogna infatti sempre conoscere quale è il livello che raggiungerà il mare durante una bassa marea per valutare se ci sono rischi di incagliarsi sul fondo. Inoltre le maree provocano flussi e riflussi molto intensi soprattutto in corrispondenza di stretti o canali e con essi delle pericolose correnti da tenere in conto per la navigazione o il nuoto. La teoria moderna delle maree si fa risalire a Laplace che determinò le equazioni che governano il fenomeno e da queste e ulteriori osservazioni si sono andati determinando i parametri che più incidono. Principalmente la Luna e la sua posizione relativa rispetto al Sole. Se la Luna è allineata al Sole e alla Terra, in fase di Luna nuova o plenilunio, si determinano le maree dette Sigizie, le più intense perchè si sommano in fase gli effetti della Luna e del Sole. Se la Luna e al quarto crescente o al quarto calante le maree sono meno intense. Inoltre se la Luna è più prossima alla Terra al suo Perigeo e in più la marea è sigizia, la marea risultante è ulteriormente amplificata. Le maree risentono della conformazione dei fondali, delle masse di acqua spostabili e delle correnti per cui nel mondo si sono determinate delle mappe con le maree attese. Ci sono anche luoghi dove le maree hanno una periodicità diurna anzichè semidiurna. Ulteriore parametro che influisce sulle maree è la pressione atmosferica: fatto riferimento a 1013 hPa, ogni hPa (o mbar) in meno determina 1 cm in meno nel livello di marea. Quindi le maree più intense sono quelle sigizie invernali quando si verficano forti temporali e conseguenti basse pressioni. In tutti i luoghi dove questo fenomeno è importante, sono disponibili delle tabelle con l'ora in cui avviene l'alta e la bassa marea e i relativi livelli riaggiunti rispetto a un livello di riferimento, detto Datum, che corrisponde al minore livello delle basse maree riscontrato nella storia delle osservazioni. Questo livello è marcato sulle mappe nautiche come linea di costa e da questo livello si calcolerà il livello di profondità durante le fasi di marea. Se consideriamo la superficie della Terra deformata sotto l'azione del campo di marea come una ellisse e ne vogliamo studiare la forma che assume a un osservatore in rotazione con essa durante 1/4 di giorno, si ottiene un modello semplificato retto dall'equazione seguente sotto l'ipotesi di piccola variazione dell'ampiezza di marea (ordine della decina di metri) rispetto al raggio terrestre:
dove la variabile x varia tra 0º e 180º per via di una conveniente duplicazione di angolo che permette abbassare il grado della espressione che si ottiene dalle equazioni parametriche dell'ellisse. L'equazione che consente al navigatore conoscere il livello d'acqua dalla linea di galleggiamento e determinare rischi di incagliamento è la seguente:
dove il livello di sonda riscontrabile è dato dal Datum nel punto nave (S0), il livello della bassa marea del giorno (Slt), il termine dovuto alla pressione atmosferica (Sp) e a cui si somma il termine dell'ampiezza della variazione di marea diurna instantanea che deve essere calcolata dalla formula precedente. L'ampiezza istantanea si calcola dalla ampiezza totale, data dalla differenza tra la quota di alta e bassa marea e tenendo in conto l'istante in cui si esegue il calcola in funzione dell'angolo fatto 0º l'angolo che corrisponde al tempo di bassa marea e 180º quello di alta. La formula che si utilizza nel semi-periodo di marea è una approssimazione delle varie componenti ma per la sicurezza della navigazione è sufficiente. Come visto si tratta di una funzione trigonometrica, che come noto è legata alla misura della semi-corda di una circonferenza in funzione dell'angolo. Normalmente si ottengono valori irrazionali, cioè determinati da radici di numeri interi, per questo la funzione è detta trascendente. Ma per fortuna dei marinai non bisogna essere degli esperti in trigonometria per sapere lo stato della marea una volta note le tabelle quotidiane. Infatti nella maggior parte dei casi l'ampiezza di marea si determina senza calcolatrice o applicazioni elettroniche con un semplice calcolo: la
regola dei dodicesimi
. Dividendo in sei ore l'intervallo tra la bassa e alta marea, senza commettere un grande errore visto che in 6 ore la Terra compie 90º e quindi in questo lasso di tempo si passa da una alta marea quando il meridiano passa in corrispondenza della Luna a una bassa marea quando questa è in quadratura rispetto al passaggio per il meridiano. La regola stabilisce che al termine della prima ora la marea è cresciuta di 1/12 (8.3%), alla seconda aumenta di altri 2/12 fino a raggiungere i complessivi 3/12 (25%), alla terza sale di 3/12 cumulando i 6/12 (50%) raggiungendo il valore del livello medio delle acque in una determinata zona. La variazione durante le tre ore successive viene calcolata in modo speculare cioè si incrementa di 3/12 alla quarta ora cumulando i 9/12 (75%), poi altri 2/12 alla quinta ora raggiungendo gli 11/12 (91.7%) e infine l'ultima ora consente di aggiungere l'ultimo 1/12 rimanente per completare i 12/12 della massima ampiezza che consente di realizzare la alta marea. Visto che la funzione esatta del modello semplificato la conosciamo, possiamo riscontrare che l'approssimazione mnemonica sbaglia solo in 2 stime su 7, alla prima e ultima ora visto che la crescita è del 6.7% anzichè del 8.3%. La prima e ultima ora sono quelle che danno meno contributo alla variazione e quindi danno meno problemi in caso di errore di valutazione. Mentre sono le ore centrali, la terza e la quarta, che da sole fanno il 50% dell'intero fenomeno. Questa è appunto la caratteristica di un fenomeno ciclico, retto da una equazione trigonometrica: piccole variazioni iniziali e finali vicino ai minimi o massimi e grandi variazioni nella fase centrale e specularità tra la prima e la seconda metà del fenomeno. La regola è anche molto facile da ricordarsi perchè coinvolge in modo evocativo i primi numeri del sistema decimale: 1-2-3. La ripetizione dopo averne invertito il senso: 3-2-1 completa il periodo la cui somma è appunto 12. Il fenomeno è ben descritto se diviso in 6 parti, le ore di un quarto di giorno o i 30º di una ipotetica base 0-180º di una funzione trigonometrica. In effetti la funzione citata è caratterizzata dal valore 0.5 a 90º (3 suddivisioni) e tale da raddoppiare il valore che aveva a 60º (2 suddivisioni). Se imponiamo questi vincoli e andiamo a cercare tre numeri interi l, m, n che abbiamo queste caratteristiche otteniamo n=l+m cioè il terzo valore deve essere pari alla somma dei primi due, il totale è pari a 4n e il primo valore deve essere tale che l/4n = 0.067: con n=3 abbiamo di conseguenza m=2 e l=1. La regola menmonica svela che si interpreta un fenomeno ciclico molto bene se la suddisione è in 6 parti. La chiave sta nel valore del cos(60)=0.5 che è l'unico numero razionale nelle tabelle trigonometriche, riportabile cioè a una semplice frazione tra numeri interi! Dividendo l'arco di circonferenza in 6 parti uguali grandi quanto il raggio si ottiene un esagono che gode della proprietà di essere formato da 6 triangoli equilateri, dove le semibasi sono pari alla metà del raggio. Questa proprietà ben nota consente di facilitare le operazioni quando si utilizzano intervalli di 60º nei fenomeni ciclici. Nel caso della marea ai primi 60º gradi, cioè un terzo della durata del fenomeno, si è a metà della variazione tra la bassa e la quota della marea media. La suddivisione in 6 sulla ascisse e in 12 sulle ordinate ha anche il vantaggio di permettere di gestire i multipli di 2, 3 e 4. Questa stessa regola la possiamo applicare alla variazione ciclica di qualsiasi altro fenomeno come ad esempio la variazione della declinazione del Sole nei mesi da un solstizio al sucessivo e la conseguente durata del giorno. Abbiamo già pronta la divisione dell'anno in 12 mesi: nel semestre dopo il solstizio estivo, il Sole passa da +23º a -23º di declinazione e il tramonto alle nostre latitudini di 40º circa passa da + 90 minuti a -90 minuti rispetto alle 18 UTC (ora del tramonto all'equinozio). Possiamo prendere una sola metà del fenomeno: dall'equinozio di Settembre al solstizio di Dicembre e ragionare sulla semiampiezza del fenomeno. Nel periodo tra Settembre e Dicembre si passa da 0º a -23º (o -90 minuti) che sono i 6/6 della semiampiezza della variazione totale. Dopo il primo mese dall'equinozio di Autunno al 21 Ottobre si perde i 3/6 cioè circa 11.5º (o 45 minuti), a novembre altri 2/6 cioè altri 7.6º (altri 30 minuti) che portano la declinazione del sole a 19º sud (e il tramonto alle 16:45 UTC). Finalmente l'ultimo mese in Dicembre c'è una piccola variazione dei restanti 3.9º per totalizzare i 23º del solstizio (tramonto alle 16:30 UTC). Questo è quello che sta succedendo durante questi mesi. Notiamo che come per le maree un mese prima e un mese dopo l'equinozio, dove il Sole occupa la sua posizione media, si assiste alla variazione maggiore. Dopo queste considerazioni è utile cercare una regola più precisa anche per il primo o l'ultimo sesto di semiperiodo di variazione? Possiamo studiare numericamente il problema dal momento che conosciamo la funzione esatta che domina il fenomeno semplificato e che l'approssimazione può essere determinata attraverso le variazioni incrementali nel tempo cioè dalla derivata della funzione. Tornando alle maree una buona approssimazione si può ottenere calcolando la derivata dell'angolo metà e moltiplicata per la variazione angolare (che corrisponde a una integrazione numerica) come segue:
Per x=30º il sin(15) è un numero irrazionale che porta al valore di 0.0677 che è molto vicino al valore reale. Proseguendo con questo metodo si trovano i valori che si realizzerebbero con una approssimazione numerica del problema trigonometrico. Da questi si possono ottenere le terne dei numeri interi che possono approssimare meglio la funzione trigonometrica rispetto alla regola dei dodicesimi. Una terna migliore sarebbe 1-3-4 e i delta si dovrebbero calcolare in sedicesimi. In questo caso il primo sesto sommerebbe il 6.25% che è più vicino al valore corretto di 6.7% e continuerebbe ad accertare il 25% e il 50% per i successivi. Però il numero 16 è un po' più complicato da usare. Si potrebbe migliorare ancora con la terna 10-27-37 e dividendo in 148-esimi pero si complica ancora di più. Forse sarebbe meglio dividere in 144-esimi e porre la terna in 10-26-36 però anche in questo caso toccherebbe avere una calcolatrice in barca o sulla spiaggia e tutto questo per la prima o ultima ora dove i cambiamenti sono impercettibili. No, va bene la regola del 1-2-3-3-2-1 e sorprendentemente interpretiamo bene queste funzioni trigonometriche che sono trascendenti e danno luogo normalmente a valori irrazionali con dei numeri molto amichevoli. Durante la rivoluzione francese si era pensato di razionalizzare tutto e utilizzare la base dieci anche per le ore del giorno e i mesi dell'anno (ognuno di 30 giorni con 5 di recupero a fine anno). Anche l'ora veniva suddivisa in 100 minuti e i minuti in 100 secondi. Non c'erano più 4 settimane in un mese ma 3 decadi di 10 giorni...con un giorno di riposo a decade i giorni di lavoro nel mese risultavano aumentati. Alla fine si è tornati alla divisione in 12 dell'anno, in 24 ore della giornata e di 60 minuti per le ore e di 60 secondi per i minuti. Sarà per le 12 lunazioni in un anno, o che semplicemente il numero 12 consente di dividere per 2-3-4 e il 60 contiene anche il 5, il 6 ossia tutti i primi 6 numeri. Inoltre è divisibile per il 10, il 12, il 15, il 20 e il 30 per cui alla fine prevalse il sistema sessagesimale . O meglio tornò perchè fin dai babilonesi si era capito che quando si ha a che fare con Sole e Luna poter passare per qualcosa che abbia a che fare con l'angolo di 60º rende tutto più facile!