Determinazione dell'ora del tramonto (e dell'alba) per marinai

Abbiamo visto l'ultima volta che un fenomeno caratterizzato da un andamento sinusoidale può essere facilmente calcolato con una semplice regola mnemonica. Possiamo provare ad applicarla alla determinazione dell'ora del sorgere e tramonto del Sole una volta nota la sua declinazione. Quest'ultima la possiamo determinare con la stessa regola perchè varia tra 23.4º il 21 giugno a -23.4º il 21 dicembre e in prima approssimazione segue una perfetta sinusoide che passa per il valore nullo nei giorni di equinozio, il 20 marzo e il 23 settembre. Possiamo scegliere la migliore regola da applicare che presentava lo scostamento minore con il valore corretto. Scegliamo la sequenza 1-3-4-4-3-1 che chiameremo "regola del marinaio" per valutare la declinazione del Sole il 21 Novembre, al secondo mese dopo il solstizio. La declinazione si è ridotta di 7/8 di 23.4 gradi cioè il Sole sta -20.475º. Questa declinazione corrisponde piuttosto al 23 Novembre, un errore di soli 2 giorni, che conferma la validità della regola approssimata che abbiamo scelto. Abbiamo visto nel post del 10/10/2014 che si applica la trigonometri sferica per calcolare l'altezza a di un astro di data declinazione d in un certo luogo di cui è nota la latitudine l e longitudine e l'ora p. Se invertiamo l'equazione per determinare l'altezza a possiamo determinare a che ora il Sole passa per l'orizzonte quando questa si annulla. L'equazione dell'atezza è la seguente:

L'equazione dell'altezza non corrisponde a una sinusoide ma ne è abbastanza simile quindi possiamo studiare come approssimare l'andamento con l'equazione con la quale abbiamo studiato le maree che va da un minimo dell'altezza del sole alla mezzanotte a un massimo al mezzogiorno. I due valori estremi dipendono dalla colatitudine c = 90- l e dalla declinazione d del Sole presa con il segno. Precisamente l'altezza del Sole al mezzogiorno sarà H(12)= c + d e alla mezzanotte H(24)= -c + d. L'ampiezza totale da minimo a massimo è pari quindi a 2c, da cui la colatitudine c risulta essere la semiampiezza. Con l'equazione dell'altezza approssimata possiamo determinare l'ora di intersezione con l'orizzonte annullando l'altezza. L'equazione di una sinusoide con queste caratteristiche nel tempo da 0 a 24 ore è quindi:

Si tratta di una sinusoide di ampiezza c e traslata di d sull'asse dell'altezza solare. Da un confronto tra i due grafici possiamo vedere che le due curve non coincidono, ma presentano delle differenze al crescere della declinazione d del Sole nel senso che la variazione di altezza è più ripida nel caso corretto rispetto a quello approssimato.

Per quanto riguarda l'attraversamento dello zero, che corrisponde alla condizione dell'alba o del tramonto si ha una differenza sempre positiva per il caso approssimato che ritarda l'ora del tramonto per declinazioni positive e il contrario per declinazioni negative. Scriviamo quindi l'equazione dell'ora del tramonto nel caso corretto e approssimato:

La differenza in minuti che si ottiene alla latitudine di 40º è rappresentata dalla dall'andamento del seguente grafico che è praticamente lineare con la declinazione.

Quindi alla latitudine di 40º bisognerà sottrarre circa 1,16 minuti per ogni grado di declinazione del Sole. Per latitudini differenti il valore della differenza in minuti cambia in modo più evidente quanto più ci si avvicina all'equatore. L'ulteriore passo è cercare la condizione di attraversamento dell'orizzonte per individuare il valore che si ricava dall'interpolazione lineare dell'equazione che otteniamo dalla regola del marinaio. Per determinare l'ora del tramonto, dividiamo in 6 intervalli di due ore ciascuno il tempo dal mezzogiorno alla mezzanotte: dopo 4 ore sappiamo che il Sole ha perso metà della semiampiezza (cioè la colatitudine), dopo 6 ore ha perso la semiampiezza, nelle due ore successive perde un'altra metà della semiampiezza. Quindi la condizione di attraversamento si incontrerà intorno alle ore 18, in anticipo nei mesi autunnali e invernali e dopo le 18 per quelli primaverili ed estivi. Se scriviamo l'equazione del segmento che intorno alle ore 18 rappresenta la condizione di attraversamento dell'orizzonte per l'applicazione della regola del marinaio all'equazione approssimata otteniamo la seguente espressione:

La relazione è molto semplice perchè lineare con la declinazione e tiene in conto il complementare della latitudine nel coefficiente angolare. Il risultato che si ottiene dall'interpolazione lineare (in rosso) è in ottimo accordo con il valore che si ottiene con l'andamento approssimato (in blu) come si può vedere dalla figura che segue in cui è stato evidenziato anche il valore esatto (in verde).

In questo modo possiamo determinare dopo quante ore passato il mezzogiorno si verifica il tramonto o quante ore prima si ha l'alba. Per esempio per un luogo che ha latitudine l = 40º la colatitudine è c = 50, quindi il 21 novembre il tramonto si dovrebbe verificare alle ore UT: 4h 44m (tenendo in conto la correzione tra metodo approssimato e esatto). Allo stesso modo, in forma speculare, si può determinare quante ore prima del mezzogiorno si verifica l'alba. C'è un'ulteriore correzione da fare che viene dall'equazione del tempo. Quest'ultima variazione tiene in conto la differenza del mezzogiorno del sole medio, secondo l'orologio, e l'effettiva posizione del transito a Sud nel passaggio al meridiano del Sole. Questa differenza è dovuta alla forma dell'orbita che è ellittica e all'angolo di inclinazione del piano equatoriale terrestre rispetto a quello dell'eclittica in cui giace l'orbita. Da qui risulta che a Novembre il Sole transita al meridiano prima del mezzogiorno dell'orologio di circa 14 minuti. Sottraendo 14 minuti otteniamo un orario per il tramonto alle ore UT: 4h 30m. Se vediamo l'almanacco nautico il tramonto è di circa 7 minuti più tardi per via del fatto che si deve tern in conto il fenomeno di rifrazione. La relazione lineare in funzione della declinazione che abbiamo determinato interpolando la regola del marinaio applicata all'altezza del Sole può essere parametrizzata per differenti latitudini ottenendo l'andamento del delta del tempo in minuti rappresentato nella figura seguente.

Possiamo quindi concludere che con una semplice regola dell'approssimazione del marinaio alla sinusoide, l'errore nella determinazione dell'ora del tramonto può essere contenuto nei 10 minuti. Questa operazione si può fare quasi senza calcolatrice, anche stando in mare... senza bisogno di molte tavole. Per fortuna i fenomeni descritti da equazioni sinusoidali, la maggior parte in astronomia, non sono poi così ostici come sembrano potendo contare su una fase praticamente lineare per un terzo del semi-periodo prima e dopo l'attraversamento del valore medio dell'ampiezza di oscillazione!