Orientarsi con le stelle: perchè funziona?

Abbiamo visto diversi casi in cui si può determinare la situazione geografica attraverso l'osservazione degli astri. Basta avere un cronometro con il tempo universale UTC, un sestante per sapere l'angolo di altezza dell'astro sull'orizzonte e l'almanacco nautico e dai casi più semplici ai più complessi è stato possibile conoscere latitudine o longitudine o entrambi. Per la latitudine il compito non è stato difficile, la soluzione più semplice è attraverso il sole nel passaggio al meridiano: con la sola accortezza di fare più misure nell'intorno del mezzogiorno locale o, quando, utilizzando una bussola il sole è posizionato poco prima del transito per il sud geografico e poco dopo. La conoscenza della declinazione del sole nell'epoca dell'anno riportata nell'almanacco è sufficiente per conoscere la latitudine. Si può usare anche un astro che transita nella notte per il meridiano, conoscendo la declinazione dell'astro: variabile se è un pianeta o la luna o fissa se è una stella. Il problema in questo caso è che la determinazione va fatta durante il crepuscolo nautico in cui l'orizzonte è ancora visibile, non dopo quando le stelle spiccano di più nel cielo ma non si vede più l'orizzonte. Lo stesso problema c'è per la stella polare, che essendo una stella non di primaria grandezza è difficilmente visibile nel crepuscolo. Ci darebbe quasi direttamente la latitudine con la sola lettura dell'angolo sull'orizzonte, ma nel caso pratico è di difficile utilizzo per misure precise. Per la longitudine abbiamo visto che ci sono notevoli difficoltà e imprecisioni. L'ora dell'alba o del tramonto di sole e luna possono permetterci una misura abbastanza precisa, come anche il passaggio al meridiano, sempre con una lettura del cronometro della massima precisione. Il modo più efficace per avere la determinazione di latitudine e longitudine con buona precisione è attraverso il metodo delle intersezioni delle rette di altura Marq. Bastano 2 astri che formino un angolo intorno dai 45 gradi in su di azimut tra loro e la misura delle loro altezza può permetterci la correzione della stima del punto nave. Perchè funziona? Il concetto è legato al fatto che il luogo dei punti sul pianeta che vedono il primo astro con lo stesso angolo di altezza nello stesso istante sono su una circonferenza che giace sulla superficie terrestre e che può essere calcolata una volta note la declinazione e l'angolo orario rispetto a Greenwich dell'astro. L'equazione che consente questa determinazione si ottiene esplicitando per l'angolo al polo h l'equazione della trasformata di Eulero ottenendo:

Anche il secondo astro è visto da un luogo di punti che formano una circonferenza sulla Terra che ha il suo centro nella direzione di dove l'astro vede la Terra sotto di sè e vice versa. Le due circonferenze si intersecano in due punti o sono tangenti nei casi limite. Uno dei due punti è la nostra posizione sulla Terra.

Questo stesso metodo è utilizzato nel GPS per risalire alla posizione di un trasmettitore che è visto da due satelliti in posizione note. Nel GPS è utilizzato un terzo satellite per discriminare anche l'altezza dal suolo e, nella pratica, un quarto per risolvere l'incertezza sulla simultaneità dei segnali. Nella figura è rappresentato il caso che ho trattato nell'ultimo post, quello della Luna e Giove nella posizione vera, risultato finale dell'analisi del punto nave. Il punto più in basso è appunto quello caratterizzato dalla latitudine l_v = 11º 10' N L_v = 72º 00' E al largo dell'atollo di Peremul. Vediamo ora le circonferenze intersezione nel caso della situazioni stimata che portava a delle altezze stimate che differivano, anche se di poco, dalle altezza vere, quelle misurate con il sestante. Le circonferenze sono leggermente sfasate rispetto a quelle vere, intersecandosi nel punto nave stimato.

Il determinante dato dal delta delle altezze e dall'azimut calcolato consente di correggere la stima e tracciare le rette di altura Marq e dall'intersezione fra queste permettono di ottenere la posizione corretta. Le circonferenze sfasate ci permettono di capire come funziona il metodo delle interseizoni di Marq. Se l'altezza vera è maggiore dell'altezza stimata la circonferenza d'altura passa per punti nella direzione verso cui viene visto l'astro. Nel nostro caso la Luna è vista sotto l'azimut di 280º, localmente la circonferenza può essere confusa con un tratto rettilineo e questa è proprio la retta di altura. Quest'ultima la spostiamo dal punto stimato di tanti minuti di grado quanti differiscono la stima e la lettura dell'altezza. Per il secondo astro, Giove, l'altezza vera è inferiore alla stimata, questo corrisponde a una circonferenza di altura spostata in direzione opposta all'azimut sotto cui viene visto Giove. Anche qui il determinante consente di spostarsi lungo l'azimut e tracciare la retta che linearizza la circonferenza e permette di individuare l'intersezione con la prima retta d'altura. L'intersezione fornisce la posizione vera. Il metodo è abbastanza laborioso: necessita di una perfetta misura con il sestante, l'osservazione pressochè contemporanea di due astri in corrispondenza della quale leggere con la massima precisione il cronometro, infine la soluzione passa per un calcolo trigonometrico non semplice senza calcolatrici e una soluzione grafica. Tutto questo è molto difficile eseguirlo in navigazione senza errori. La determinazione della posizione è molto sensibile agli errori commessi nella sequenza delle operazioni precedentemente descritte. Vediamo in un caso pratico di quanto ci possiamo allontanare dalla posizione vera. Con un buon sestante un errore di circa 10 minuti di grado è ammissibile pensando alla difficoltà della misura da fare mentre l'imbarcazione beccheggia, l'orizzonte si fa via via più evanescente e l'astro non è così luminoso da evidenziarsi nettamente nel gioco di specchi e filtri del sestante. Si raccomanda comunque di fare più misure successive o simultanee da parte di più persone. L'ora può essere determinata con molta precisione ma tra la prima e la seconda osservazione si può commettere un errore di un minuto sul secondo astro. Se l'errore viene commesso solo per l'osservazione di Giove, le conseguenze sono abbastanza contenute. Infatti l'errore di un minuto nell'osservazione ha un impatto nella determinazione dell'angolo al polo che varia di circa 2 gradi. Ma il deteminante non cambia sostanzialmente. Quello che porta le maggiori conseguenze è l'angolo misurato: con una riduzione di 10' del suo valore, il delta_a si riduce anch'esso di 10', mentre un eccesso di 10' porta a una sovrastima del delta_a di 10'. Riportato sulla carta, le intersezioni delle rette di altura, essendo molto oblique tra loro risentono dell'errore amplificandolo. Nel caso di difetto di misura l'errore sulla situazione vera è di circa 23' a Nord-Est. Mentre l'eccesso porta a un errore di 27' a Sud-Ovest. Se viene commesso anche un errore di 10' sull'angolo di altezza della Luna, la combinazione dei possibili errori porta a un massimo di 40' a Nord della situazione vera in caso di eccesso per l'angolo della Luna e difetto per l'angolo di Giove e 60' a Sud della situazione vera in caso di difetto per l'angolo della Luna e eccesso per l'angolo di Giove. Sotto queste condizioni di errore non solo si poteva sbagliare il nome dell'atollo ma anche arrivare a dire che eravamo già a terra o al contrario ancora in mezzo all'oceano... per fortuna del nostro naufrago non era così! Nella pratica bisogna sempre tener presente che la tollerenza sulle misure in particolare degli angoli fa sì che si determini un parallelogrammo entro il quale ci si situa con un'approssimazione in miglia che va con l'errore in minuti dell'angolo di altezza, eventualmente amplificato tanto più quanto più l'azimut dei due astri si allontana dai 90º di intersezione. Si può eventualmente aggiungere un terzo astro osservato per poter cercare di eliminare gli errori sistematici. Con questa tecnica si genera un triangolo tra le rette di altura e la situazione vera viene ad essere il baricentro di questo triangolo. In conclusione le stelle sono davvero come dei fari nello spazio, ma come per quelli sulla costa, bisogna saperle riconoscere e interpretare per ottenere una posizione sufficientemente corretta...anche se un'occhiatina al GPS, nell'era digitale, toglie sempre qualsiasi dubbio!

Orientarsi con le stelle: Luna e pianeti

Finalmente dopo tanto peregrinare, la stessa notte, il nostro naufrago vede delle luci all'orizzonte alle ore UTC = 23h 50m. Stima di trovarsi nel punto di latitudine: l_s = 11º 35' N e longitudine L_s = 072º 10' E. Pertanto l'ora locale è Hl = 4h 38m del mattino. L'isola che vede davanti a se dovrebbe essere quindi Bitra , un atollo delle isole dell'Unione in territorio indiano. Per averne conferma cerca nel cielo brumoso prima dell'alba due corpi celesti che lo aiutino a fare il punto nave. Sono ben visibili la Luna e il pianeta Giove quindi prende l'altezza dall'orizzonte con il sestante e applica il metodo dell'intersezione delle rette di altura che abbiamo visto la volta scorsa applicato a due stelle. Il metodo è lo stesso per i pianeti ma si deve tenere in conto che Venere e Marte sono corpi celesti vicini alla Terra pertanto necessitano di correzioni della parallasse. Per la Luna oltre a notevoli correzioni dovuti alla parallasse si deve tenere in conto che si sposta nel cielo durante il giorno di osservazione compiendo circa 13 gradi di ritardo che equivalgono a circa 50 minuti. Per cui in genere sono necessarie delle correzioni ulteriori che per le stelle non si utilizzano. Le correzioni sono comunque indicate nel almanacco. Prendiamo prima in considerazione il caso di Giove: viene misurata un'altezza strumentale pari a a_i_Jup = 40º 10.9'. Considerando la correzione per depressione dell'orizzonte (-2.5') e la rifrazione a 40º (-1.2'), l'altezza vera risulta è un pianeta lontano a_v_Jup = 40º 7.2'.

Consultando l'almanacco l'angolo orario risulta essere hG_Jup = 224º 16.6' alle 23. La correzione alle HG = 23h 50m è riportata nell'almanacco risultando c = 12º 30' a cui si somma 1.8' dovuti al Dif = 21 riportato sulla pagina del 10 / 10.

Pertanto hG_Jup = 236º 48.4' e data la longitudine stimata: hl_Jup = 308º 58.4' da cui l'angolo al polo risulta essere p_Jup = 51º 1.5'. La declinazione va anch'essa corretta nella stessa tavola che corrisponde a +50m e Dif = -1 che è pari -0.1'. Per cui la declinazione risulta d_Jup = 16º 5.7'. Ora si applica la formula di trasformazione di Eulero ottenendo il valore dell'altezza che si avrebbe come effetto della posizione stimata: a_s_Jup = 40º 21.8'. Il determinante dato dalla differenza tra altezza vera e stimata è pari a delta_a = -14.6'. L'azimut, dalla seconda delle formule di trasformazione è pari a z_s_Jup = 78º 16.7 a partire dal Nord verso Est. Ora occupiamoci della Luna. Per un corpo celeste che si presenta come un cerchio va preso un bordo, in genere il più basso e le correzioni già consentono di risalire al centro, analogamente a come si fa per il sole. Ci sono delle tavole specifiche che considerano la rifrazione, la parallasse e il semidiametro allo stesso tempo. Il nostro osservatore misura al sestante un'altezza del bordo inferiore pari a a_i_Luna = 50º 21.5'. Per il giorno 10 / 10 bisogna leggere nell'almanacco nel riquadro in alto sopra la colonna della Luna il PHE = 58.2' ottenuto interpolando con il giorno successivo. Si entra quindi nella tabella di correzione con l'altezza al grado e la parallasse orizzontale al minuto, leggendo: 52.4'.

Interpolando tra le parti proporzionali ai i minuti di altezza e la variazione di parallasse si ottiene: -0.1'. Considerando la depressione dell'orizzonte (-2.5) l'altezza vera del centro della Luna è: a_v_Luna = 51º 11.3'. Andiamo a leggere sull'almanacco l'angolo orario alle 23 risultando hG_Luna = 315º 38.6' e dalla correzione dei 50 minuti e del Dif = 86 si ottiene: hG_Luna = 327º 41.6' e per l'angolo orario locale hl_Luna = 38º 51.5 e stesso angolo al polo. La declinazione alle 23 d_Luna (23) = 15º 13.1, che corretta a 50 minuti con Dif = +63 con +5.3' risulta: d_Luna = 15º 18.4'. Utilizzando le oramai note formule di trasformazione possiamo quindi ottenere: altezza stimata a_s_Luna = 51º 5.6' che porta a un delta_a_Luna = +5.8' e z_s_Luna = 280º 20.2' (a partire da sud verso ovest). Siamo quindi in grado di costruire l'intersezione tra le rette di altura.

Troviamo che la posizione vera sta a circa 21' latitudine più a sud e 10' longitudine più a ovest. Il punto nave viene quindi: l_v = 11º 14'N e L_v = 072º 00' E. Quindi la terra avvistata è dell'atollo Perumal Par. Il viaggio del nostro naufrago ha finalmente avuto fine perchè conseguirà remando arrivare a terra ferma. Tutto quello che abbiamo visto circa l'orientamento con le stelle per la navigazione astronomica è quello che si potrebbe fare in condizioni ideali in cui il cielo notturno è visibile (assenza di nuvole o nebbia), l'orizzonte sul mare è visibile perchè siamo al crepuscolo prima dell'alba o dopo il tramonto, l'imbarcazione è abbastanza stabile da permettere una misura di altezza abbastanza agevole e il sestante da misure attendibili. Tutte queste condizioni sono difficilmente realizzabili e quindi ci si può aspettare che si commettano errori più o meno grandi. E' chiaro che in mare aperto un'approssimazione di una ventina di miglia e ammissibile mentre sotto costa questo è molto rischioso. Ma nonostante queste difficoltà i marinai del passato hanno tracciato le rotte della navigazione globale grazie alle stelle, ai pianeti, alla Luna e al Sole.

Orientarsi con le stelle: le stelle

Sono passati alcuni giorni e le correnti hanno portato il nostro naufrago vicino alle coste occidentali indiane del mar arabico. Dopo varie sere e notti nuvolose finalmente, dopo una giornata tersa sono visibili le stelle al crepuscolo. E' il momento per fare il punto nave con precisione e per questo occorre poter vedere almeno due stelle. Il rilevamento dell'altezza delle stelle sull'orizzonte va fatto tra il crepuscolo civile e il nautico in cui l'orizzonte è ancora visibile. Nell'almanacco nautico son indicati gli orari corrispondenti a 6º e a 12º sotto l'orizzonte in cui vengono considerati questi due eventi in funzione della latitudine del posto. L'altezza delle stelle va quindi misurata rapidamente e data la scarsa velocità dell'imbarcazione si considera in genera di essere nello stesso luogo. Consideriamo due rilevamenti simultanei di stelle ben visibili nell'emisfero nord in prima serata come Vega della Lira e Antares dello Scorpione. La posizione stimata è l = 12º 30' N e L = 070º 20' E, alle 13h 50m UTC che corrisponde alle 18h 30m locali, vengono prese le seguenti altezze simultanee strumentali: a_alpha_Lyr = 59º 10.9' e a_alpha_Sco = 28º 52.0'. Alle altezze strumentali si ottengono le altezze vere correggendo la depressione all'orizzonte pari a -2.1' per via dell'altezza dell'osservazione a 2m come evidenziato nella figura seguente.

Inoltre la rifrazione funzione dell'altezza osservata comporta un'ulteriore correzione pari a -0.6' per alpha_Lyr e -1.8' per alpha_Sco come evidenziato nella figura seguente.

Le altezze vere risultano quindi: a_alpha_Lyr = 59º 7.8' e a_alpha_Sco = 28º 47.7'. Vediamo con queste informazioni come si può arrivare a correggere la posizione stimata per passi successivi. 1. Consultando l'almanacco nel giorno del 10 di Ottobre, si determinare l'angolo orario di Greenwich della linea dell'ariete interpolando tra gli angoli orari in cui è compresa la ora UTC secondo la figura dell'almanacco di seguito.

Da questa osservazione si ricava hGY = 226º 35.4'. 2. Nella lista delle stelle, si va in corrispondenza delle stelle osservate per ottenere l'angolo sidereo e la declinazione nel mese in corso. Per alpha_Lyr otteniamo A.S.=80º 50.6' e d = 38º 46.7', mentre per alpha_Sco otteniamo A.S.=112º 47.4' e d = -26º 24.8' come evidenziato nella figura seguente.

3. L'angolo sidereo si somma all'angolo orario della linea dell'ariete determinando l'angolo orario di Greenwich dell'astro. Nel nostro caso si ottiene: hGA = 307º 13.8' per alpha_Lyr e hGA = 339º 0.7' per alpha_Sco. 4. Dall'angolo orario di Greenwich, sommando la longitudine si ottiene l'angolo orario locale. L'angolo al polo si ottiene come l'angolo minore di 180º verso ovest o est dalla posizione locale. Otteniamo hl* = 17º 33.8' verso ovest per alpha_Lyr, hl* = 49º 20.7' verso ovest per alpha_Sco. 5. Con la latitudine stimata, la declinazione dell'astro e l'angolo al polo si aplicano le formule della trasformazione di Eulero per ottenere l'altezza stimata e l'azimut come segue.

Otteniamo a_e = 59º 25.6' per l'altezza stimata di alpha_Lyr e a_e = 28º 13.3' per l'altezza stimata di alpha_Sco. Mente per l'azimut otteniamo: z_e = 332º 27.8' per alpha_Lyr e z_e = 230º 25.7' per l'altezza stimata di alpha_Sco. Per determinare l'azimut se la cotangente è negativa il riferimento è il punto sud e l'azimut si determina a partire da 180º verso ovest o verso est a seconda della posizione determinata precedentemente. Verso nord se la cotangente è positiva. 6. Dalla differenza tra altezza vera e strumentale si ottiene il delta_altezza che con l'azimut permette di conoscere il determinante come da equazione seguente.

Otteniamo Delta_alpha_Lyr = - 17.8' e Delta_alpha_Sco = 33.5' 7. Con il determinante è possibile collocare la retta d'altura Marcq Saint Hilare. La retta d'altura è un segmento perpendicolare all'azimut stimato che linearizza localmente il circolo d'altura. Quest'ultimo è il luogo dei punti sulla terra da cui la stella viene vista sotto lo stesso angolo sull'orizzonte. Per ottenre il grafico si prende in genere un foglio di carta millimetrata in cui si traccia una circonferenza. Il centro sarà il punto nave stimato. La retta di altura si traccia perpendicolarmente all'azimut tracciato dal centro a una distanza pari al delta_a nella stessa direzione dell'azimut se il delta è positivo e in direzione opposta se il delta è negativo.

8. Dall'intersezione delle rette di altura è possibile ricavare la situazione vera. La latitudine vera si determina proiettando sull'asse verticale la coordinata dell'intersezione. La longitudine invece risente del fatto che a latitudine crescente 1 grado in longitudine è più piccolo di un grado in latitudine in ragione del coseno della latitudine. La carta consente di staccare il delta longitudine e in corrispondenza della latitudine del luogo determinare a che delta di longitudine corrisponde. Nel nostro caso quindi la posizione vera è: l = 12º 00' N e L = 070º 00' E. Questo metodo consente quindi di ottenere la correzione alla posizione stimata attraverso l'osservazione dell'altezza di due stelle conosciute e l'ora UTC dell'osservazione. E' fondamentale effettuare la misura dell'altezza con il sestante nel modo più preciso possibile. Va ricordato infatti che un errore di 1º si riflette su un errore dell'ordine 60 miglia nautiche! Di fatto le stelle corrispondono a osservazioni oggettive alla stregua dei fari sotto costa che consentono una navigazione rilevata o navigazione astronomica.